Questão
. Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e encontre a área desta região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa esboçar a região que é delimitada pelas curvas
e
e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas curvas que temos:
- Curva
: Essa é uma parábola que abre para a direita. - Curva
: Essa também é uma parábola que abre para a direita, mas deslocada 4 unidades para a direita.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Agora, substituímos os valores de
na equação
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar as duas parábolas no mesmo sistema de coordenadas:
- A parábola
passa pela origem e abre para a direita. - A parábola
está deslocada 4 unidades para a direita e também abre para a direita.
As curvas se intersectam em
e
, formando uma espécie de “olho” entre elas.
Passo 5
Para encontrar a área da região limitada, vamos integrar a diferença das funções em relação a
, já que ambas são expressas em termos de
.
A área
é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.