Questão 3 (2,0 pts). Esboce a região delimitada pelas curvas x=2 y^2 e y^2=x-4 e encontre a área desta região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa esboçar a região que é delimitada pelas curvas x = 2y^2 e y^2 = x - 4 e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas curvas que temos:
  1. Curva x = 2y^2: Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. Curva y^2 = x - 4: Essa também é uma parábola que abre para a direita, mas deslocada 4 unidades para a direita.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
2y^2 = y^2 + 4
Simplificando:
2y^2 - y^2 = 4 y^2 = 4 y = pm 2
Agora, substituímos os valores de y na equação x = 2y^2:
Para y = 2:
x = 2(2)^2 = 8
Para y = -2:
x = 2(-2)^2 = 8
Então, os pontos de interseção são (8, 2) e (8, -2).

Passo 4

Agora, vamos esboçar as duas parábolas no mesmo sistema de coordenadas:
  • A parábola x = 2y^2 passa pela origem (0,0) e abre para a direita.
  • A parábola y^2 = x - 4 está deslocada 4 unidades para a direita e também abre para a direita.
As curvas se intersectam em (8, 2) e (8, -2), formando uma espécie de “olho” entre elas.

Passo 5

Para encontrar a área da região limitada, vamos integrar a diferença das funções em relação a y, já que ambas são expressas em termos de y.
A área A é dada por:
A = integral-2^2 ( (y^2 + 4) - 2y^2 ) dy
Simplificando a expressão dentro da integral:
(y^2 + 4) - 2y^2 = -y^2 + 4

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
A = integral-2^2 (-y^2 + 4) dy
Integrando termo a termo:
A = [ -y^33 + 4y ]-2^2
Calculando nos limites:
Para y = 2:
-(2)^33 + 4(2) = -83 + 8 = 163
Para y = -2:
-(-2)^33 + 4(-2) = 83 - 8 = -163
Subtraindo os valores:
A = 163 - (-163) = 323

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas x = 2y^2 e y^2 = x - 4 é 323 unidades quadradas.

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