Utilizando a fórmula integral u d v=u v-integral v d u (integração por partes) calcule:
integral x^3 cdot cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral integral x^3 cdot cos (x^2) d x usando a fórmula da integração por partes, que é integral u , d v = u cdot v - integral v , d u. Vamos precisar entender como escolher as partes u e d v corretamente e aplicar a fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual parte da integral será nosso u e qual será d v. Uma boa estratégia é escolher u como uma função que fica mais simples quando derivada. Vamos escolher:
  • u = x^2
  • d v = x cdot cos(x^2) , d x
Agora, vamos calcular d u e v:
  • Derivando u, temos d u = 2x , d x.
  • Para encontrar v, precisamos integrar d v:
v = integral x cdot cos(x^2) , d x

Passo 3

Vamos calcular a integral para encontrar v. Fazendo uma substituição para facilitar:
Seja w = x^2, então d w = 2x , d x, ou seja, x , d x = 12 d w. Substituindo na integral:
v = integral x cdot cos(x^2) , d x = 12 integral cos(w) , d w = 12 sin(w) + C = 12 sin(x^2)
Portanto, v = 12 sin(x^2).

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , d v = u cdot v - integral v , d u
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 cdot cos(x^2) , d x = x^2 cdot ( 12 sin(x^2) ) - integral ( 12 sin(x^2) ) cdot 2x , d x
Simplificando:
= 12 x^2 sin(x^2) - integral sin(x^2) cdot x , d x

Passo 5

Precisamos agora calcular a integral integral x sin(x^2) , d x. Vamos usar novamente a substituição:
Seja w = x^2, então d w = 2x , d x, ou seja, x , d x = 12 d w. Substituindo na integral:
integral x sin(x^2) , d x = 12 integral sin(w) , d w = -12 cos(w) + C = -12 cos(x^2)

Passo 6

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão anterior:
12 x^2 sin(x^2) - ( -12 cos(x^2) ) = 12 x^2 sin(x^2) + 12 cos(x^2) + C

Resposta

integral x^3 cdot cos (x^2) d x = 12 x^2 sin (x^2) + 12 cos (x^2) + C

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