Questão 5 (2 pts.). Escreva a expressão da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} que efetua:
\begin{aligned} & T(-1,2,1)=(1,2,0,-1) \\\ & T(0,1,1)=(0,0,2,-1) \\\ & T(0,-1,0)=(-1,2,0,1) \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá três vetores de \mathbb{R}^3 e as suas imagens por T:
\begin{aligned} T(-1,2,1)&=(1,2,0,-1),\\[4pt] T(0,1,1)&=(0,0,2,-1),\\[4pt] T(0,-1,0)&=(-1,2,0,1). \end{aligned}
  • Pede: escrever a expressão da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4; isto é, dar T(x_1,x_2,x_3) em função de (x_1,x_2,x_3).]

Passo 2

Por que podemos determinar T por essas imagens (intuição e verificação): se os três vetores dados forem base de \mathbb{R}^3, então cada vetor (x_1,x_2,x_3) é combinação linear única desses três, e por linearidade T fica completamente determinada. Vou verificar se os vetores
v_1=(-1,2,1),\quad v_2=(0,1,1),\quad v_3=(0,-1,0)
são linearmente independentes formando uma base.

Passo 3

Verificação de independência (determinante): coloquei v_1,v_2,v_3 como colunas da matriz M:
M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de M. Expandindo pela primeira linha (mais simples porque tem zeros):
\det(M) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = -1\big(1\cdot 0 -(-1)\cdot 1\big) = -1\cdot(0+1) = -1.
Como \det(M)\neq 0, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^3. Consequência: para todo (x_1,x_2,x_3) existem coeficientes únicos a,b,c tais que
(x_1,x_2,x_3)=a v_1 + b v_2 + c v_3.]

Passo 4

Escrever o sistema para encontrar a,b,c\): escrevendo a combinação coordenada a coordenada obtemos \[\begin{cases} - a + 0\cdot b + 0\cdot c = x_1,\\[4pt] 2a + b - c = x_2,\\[4pt] a + b + 0\cdot c = x_3. \end{cases}
Vou resolver esse sistema em função de (x_1,x_2,x_3].]

Passo 5

Resolver as equações passo a passo:
  • Da primeira equação segue imediatamente
a = -x_1.
  • Da terceira equação, como a+b=x_3, temos
b = x_3 - a = x_3 - (-x_1) = x_3 + x_1.
  • Substituindo a e b na segunda equação 2a + b - c = x_2:
2(-x_1) + (x_3 + x_1) - c = x_2.
Simplificando o lado esquerdo:
-2x_1 + x_3 + x_1 - c = x_2 \quad\Longrightarrow\quad -x_1 + x_3 - c = x_2.
Isolando c:
c = x_3 - x_1 - x_2\quad\text{ou mais conveniente}\quad c = x_3 - x_2 - x_1.
Portanto os coeficientes são
a = -x_1,\qquad b = x_3 + x_1,\qquad c = x_3 - x_2 - x_1.

Passo 6

Usar linearidade para obter T(x_1,x_2,x_3): por linearidade
T(x_1,x_2,x_3)=a\,T(v_1)+b\,T(v_2)+c\,T(v_3).
Substituo a,b,c e as imagens dadas:
T(v_1)=(1,2,0,-1),\quad T(v_2)=(0,0,2,-1),\quad T(v_3)=(-1,2,0,1).

Passo 7

Calcular cada componente de T(x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3,y_4) fazendo a combinação linear:
  • Primeira componente:
y_1 = a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot(-1) = a - c.
Substituindo a=-x_1 e c=x_3 - x_2 - x_1,
y_1 = -x_1 - (x_3 - x_2 - x_1) = x_2 - x_3.
  • Segunda componente:
y_2 = a\cdot 2 + b\cdot 0 + c\cdot 2 = 2(a+c).
Como a+c = -x_1 + (x_3 - x_2 - x_1) = x_3 - x_2 -2x_1, obtemos
y_2 = 2x_3 - 2x_2 - 4x_1.
  • Terceira componente:
y_3 = a\cdot 0 + b\cdot 2 + c\cdot 0 = 2b = 2(x_3 + x_1) = 2x_1 + 2x_3.
  • Quarta componente:
y_4 = a\cdot(-1) + b\cdot(-1) + c\cdot 1 = -a - b + c.
Substituindo dá
y_4 = -(-x_1) - (x_3 + x_1) + (x_3 - x_2 - x_1) = -x_1 - x_2.

Passo 8

Escrevo T de forma compacta como aplicação e como matriz (opcional). Resultado final em forma de fórmula vetorial:
T(x_1,x_2,x_3)=\big(x_2-x_3,\; -4x_1-2x_2+2x_3,\; 2x_1+2x_3,\; -x_1-x_2\big).
A matriz associada A\in\mathbb{R}^{4\times 3} tal que T(x)=A x é
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] -4 & -2 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 2\\[4pt] -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

T(x_1,x_2,x_3)=\big(x_2-x_3,\; -4x_1-2x_2+2x_3,\; 2x_1+2x_3,\; -x_1-x_2\big)

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