Pede: escrever a expressão da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4; isto é, dar T(x_1,x_2,x_3) em função de (x_1,x_2,x_3).]
Passo 2
Por que podemos determinar T por essas imagens (intuição e verificação): se os três vetores dados forem base de \mathbb{R}^3, então cada vetor (x_1,x_2,x_3) é combinação linear única desses três, e por linearidade T fica completamente determinada. Vou verificar se os vetores
v_1=(-1,2,1),\quad v_2=(0,1,1),\quad v_3=(0,-1,0)
são linearmente independentes formando uma base.
Passo 3
Verificação de independência (determinante): coloquei v_1,v_2,v_3 como colunas da matriz M:
Como \det(M)\neq 0, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^3. Consequência: para todo (x_1,x_2,x_3) existem coeficientes únicos a,b,c tais que
(x_1,x_2,x_3)=a v_1 + b v_2 + c v_3.]
Passo 4
Escrever o sistema para encontrar a,b,c\): escrevendo a combinação coordenada a coordenada obtemos
\[\begin{cases} - a + 0\cdot b + 0\cdot c = x_1,\\[4pt] 2a + b - c = x_2,\\[4pt] a + b + 0\cdot c = x_3. \end{cases}
Vou resolver esse sistema em função de (x_1,x_2,x_3].]
Passo 5
Resolver as equações passo a passo:
Da primeira equação segue imediatamente
a = -x_1.
Da terceira equação, como a+b=x_3, temos
b = x_3 - a = x_3 - (-x_1) = x_3 + x_1.
Substituindo a e b na segunda equação 2a + b - c = x_2:
2(-x_1) + (x_3 + x_1) - c = x_2.
Simplificando o lado esquerdo:
-2x_1 + x_3 + x_1 - c = x_2 \quad\Longrightarrow\quad -x_1 + x_3 - c = x_2.
Isolando c:
c = x_3 - x_1 - x_2\quad\text{ou mais conveniente}\quad c = x_3 - x_2 - x_1.
Portanto os coeficientes são
a = -x_1,\qquad b = x_3 + x_1,\qquad c = x_3 - x_2 - x_1.
Passo 6
Usar linearidade para obter T(x_1,x_2,x_3): por linearidade