Questão 4 (2 pts.). Nas transformações lineares abaixo, determine operatorname{ker}(T) e operatorname{Im}(T), bem como calcule posto e nulidade. Exiba uma base para operatorname{ker}(T) e uma base para operatorname{Im}(T).
b) (1pt.) S: \mathcal{P}_{3} \longrightarrow \mathbb{R} dada por S(p(t))=\int_{0}^{2} p(t) d t.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear S:\mathcal{P}_{3}\to\mathbb{R} definida por
S(p(t))=\int_{0}^{2} p(t)\,dt.
O que nos pedem:
  • determinar \operatorname{ker}(S) (o núcleo), isto é, todos os polinômios p\in\mathcal{P}_3 tais que S(p)=0;
  • determinar \operatorname{Im}(S) (a imagem), isto é, o conjunto de valores reais que aparecem como S(p);
  • calcular o posto (rank) e a nulidade (nullity) de S;
  • exibir uma base para \operatorname{ker}(S) e uma base para \operatorname{Im}(S).
Informações relevantes dadas:
  • \mathcal{P}_3 é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3, cujo espaço tem dimensão 4.
  • A transformação usa a integral definida de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever um polinômio genérico de \mathcal{P}_3. Seja
p(t)=a+bt+ct^{2}+dt^{3},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Vou calcular S(p) usando a regra básica de integração termo a termo. Lembra: \int_0^2 t^n\,dt=\frac{2^{\,n+1}}{n+1}. Então:

Passo 3

Calculemos a integral termo a termo:
\int_{0}^{2} a\,dt = 2a,
\int_{0}^{2} bt\,dt = b\cdot\frac{2^{2}}{2}=2b,
\int_{0}^{2} ct^{2}\,dt = c\cdot\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}c,
\int_{0}^{2} dt^{3}\,dt = d\cdot\frac{2^{4}}{4}=4d.
Somando,
S(p)=2a+2b+\frac{8}{3}c+4d.

Passo 4

Agora determinamos o núcleo: \operatorname{ker}(S)=\{p\in\mathcal{P}_3 : S(p)=0\}. A condição S(p)=0
2a+2b+\frac{8}{3}c+4d=0.
Multiplicando por 3 para evitar frações:
6a+6b+8c+12d=0,
ou simplificando dividindo por 2:
3a+3b+4c+6d=0.
Essa é a condição linear que os coeficientes a,b,c,d devem satisfazer.

Passo 5

Para descrever \operatorname{ker}(S) explicitamente, resolvemos a equação para um coeficiente em função dos outros. Por exemplo, isolando a,
3a = -3b-4c-6d \quad\Rightarrow\quad a = -b - \frac{4}{3}c - 2d.
Logo um polinômio p\in\operatorname{ker}(S) tem forma
p(t)=\bigl(-b - \tfrac{4}{3}c - 2d\bigr) + b t + c t^{2} + d t^{3},
onde b,c,d são parâmetros livres.

Passo 6

Para obter uma base sem frações incômodas, escolho vetores correspondentes a escolhas convenientes dos parâmetros. Tomo três escolhas independentes:
  • escolha 1: b=1,\;c=0,\;d=0. Então a=-1 e
p_{1}(t)=-1+t.
  • escolha 2: b=0,\;c=3,\;d=0. Então a=-4 (porque -\tfrac{4}{3}\cdot 3=-4) e
p_{2}(t)=-4+3t^{2}.
  • escolha 3: b=0,\;c=0,\;d=1. Então a=-2 e
p_{3}(t)=-2+t^{3}.
Esses três polinômios pertencem ao núcleo porque satisfazem a condição linear. Agora verifico que são linearmente independentes: suponha \alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}=0 (o polinômio zero). Comparando coeficientes de t^{3} obtemos \gamma=0. Comparando coeficiente de t^{2} obtemos 3\beta=0\Rightarrow\beta=0. Comparando coeficiente de t obtemos \alpha=0. Portanto são independentes. Como a condição linear impõe uma única restrição numa dimensão 4, esperamos dimensão do núcleo igual a 3; assim estes três vetores formam uma base de \operatorname{ker}(S).

Passo 7

Agora vamos à imagem. Note que S é uma aplicação de \mathcal{P}_3 em \mathbb{R}. Para ver qual é a imagem, mostro que S é sobrejetora em \mathbb{R}: dado qualquer y\in\mathbb{R}, escolha o polinômio constante p(t)=\dfrac{y}{2}. Então
S(p)=\int_{0}^{2}\frac{y}{2}\,dt = \frac{y}{2}\cdot 2 = y.
Portanto para todo y\in\mathbb{R} existe p\in\mathcal{P}_3 com S(p)=y. Logo
\operatorname{Im}(S)=\mathbb{R}.
Como \mathbb{R} tem dimensão 1, uma base natural para a imagem é \{1\} (o número 1 visto como vetor em \mathbb{R}).

Passo 8

Cálculo do posto e da nulidade. Pelo que já vimos:
  • \dim(\operatorname{Im}(S))=1, então o posto (rank) é 1.
  • \dim(\mathcal{P}_3)=4. Pelo teorema posto-nulidade,
\dim(\operatorname{ker}(S))=\dim(\mathcal{P}_3)-\dim(\operatorname{Im}(S))=4-1=3.
Isso confirma que a nulidade é 3.

Resposta

\operatorname{ker}(S)=\{\,a+bt+ct^{2}+dt^{3}\in\mathcal{P}_3 \mid 3a+3b+4c+6d=0\,\} com base \{\, -1+t,\; -4+3t^{2},\; -2+t^{3}\,\}.
\operatorname{Im}(S)=\mathbb{R} com base \{\,1\,\}.
posto (S)=1.
nulidade (S)=3.

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