Questão 4 (2 pts.). Nas transformações lineares abaixo, determine
e
, bem como calcule posto e nulidade. Exiba uma base para
e uma base para
.
b) (1pt.)
dada por
.
b) (1pt.)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que nos pedem:
- determinar
(o núcleo), isto é, todos os polinômios tais que ; - determinar
(a imagem), isto é, o conjunto de valores reais que aparecem como ; - calcular o posto (rank) e a nulidade (nullity) de
; - exibir uma base para
e uma base para .
Informações relevantes dadas:
-
é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a , cujo espaço tem dimensão . - A transformação usa a integral definida de
a .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever um polinômio genérico de
. Seja
com
. Vou calcular
usando a regra básica de integração termo a termo. Lembra:
. Então:
Passo 3
Calculemos a integral termo a termo:
Somando,
Passo 4
Agora determinamos o núcleo:
. A condição
dá
Multiplicando por
para evitar frações:
ou simplificando dividindo por
:
Essa é a condição linear que os coeficientes
devem satisfazer.
Passo 5
Para descrever
explicitamente, resolvemos a equação para um coeficiente em função dos outros. Por exemplo, isolando
,
Logo um polinômio
tem forma
onde
são parâmetros livres.
Passo 6
Para obter uma base sem frações incômodas, escolho vetores correspondentes a escolhas convenientes dos parâmetros. Tomo três escolhas independentes:
- escolha 1:
. Então e
- escolha 2:
. Então (porque ) e
- escolha 3:
. Então e
Esses três polinômios pertencem ao núcleo porque satisfazem a condição linear. Agora verifico que são linearmente independentes: suponha
(o polinômio zero). Comparando coeficientes de
obtemos
. Comparando coeficiente de
obtemos
. Comparando coeficiente de
obtemos
. Portanto são independentes. Como a condição linear impõe uma única restrição numa dimensão
, esperamos dimensão do núcleo igual a
; assim estes três vetores formam uma base de
.
Passo 7
Agora vamos à imagem. Note que
é uma aplicação de
em
. Para ver qual é a imagem, mostro que
é sobrejetora em
: dado qualquer
, escolha o polinômio constante
. Então
Portanto para todo
existe
com
. Logo
Como
tem dimensão
, uma base natural para a imagem é
(o número
visto como vetor em
).
Passo 8
Cálculo do posto e da nulidade. Pelo que já vimos:
-
, então o posto (rank) é . -
. Pelo teorema posto-nulidade,
Isso confirma que a nulidade é
.
Resposta
posto
nulidade