Questão 4 (2 pts.). Nas transformações lineares abaixo, determine operatorname{ker}(T) e operatorname{Im}(T), bem como calcule posto e nulidade. Exiba uma base para operatorname{ker}(T) e uma base para operatorname{Im}(T).
a) ( 1 pt.) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x, x-z).
Passo 1
O enunciado pede, para a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} dada por
T(x,y,z)=(x-y,\;y-z,\;z-x,\;x-z),
que eu determine:
\operatorname{ker}(T) (o núcleo), e uma base para ele;
\operatorname{Im}(T) (a imagem), e uma base para ela;
o posto (\operatorname{rank}(T)) e a nulidade (\operatorname{nullity}(T)).
Informações relevantes dadas no enunciado:
A fórmula explícita de T(x,y,z).
O espaço de partida é \mathbb{R}^3 e o de chegada é \mathbb{R}^4.
Passo 2
Primeiro, recapitulação curta do que vamos fazer (sem resolver ainda):
O núcleo \operatorname{ker}(T) é o conjunto \{v\in\mathbb{R}^3 : T(v)=0\}. Para encontrá-lo resolvemos o sistema homogêneo T(x,y,z)=0.
A imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T (ou pelos vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3)). Para encontrar uma base da imagem, calculamos essas colunas e extraímos um subconjunto linearmente independente que as gere.
O posto é a dimensão da imagem; a nulidade é a dimensão do núcleo. As dimensões satisfazem o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity):
Logo c_1+c_2+c_3=0, ou seja, as três colunas são linearmente dependentes. Portanto o posto é no máximo 2.
Agora verifico que c_1 e c_2 são linearmente independentes: se a c_1+b c_2=0, olhando para a segunda coordenada obtemos 0\cdot a + 1\cdot b = 0\Rightarrow b=0. Com b=0 a primeira coordenada dá a\cdot 1 = 0\Rightarrow a=0. Logo só a solução trivial existe, então c_1 e c_2 são independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2.
Uma base para \operatorname{ker}(T) é \{(1,1,1)\} e a nulidade é 1, como já tínhamos.]
Passo 6
A imagem é o subespaço gerado pelas colunas: \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}. Como já vimos c_3=-c_1-c_2, basta \{c_1,c_2\} para gerar a imagem. Portanto uma base conveniente é