Questão 4 (2 pts.). Nas transformações lineares abaixo, determine operatorname{ker}(T) e operatorname{Im}(T), bem como calcule posto e nulidade. Exiba uma base para operatorname{ker}(T) e uma base para operatorname{Im}(T).
a) ( 1 pt.) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x, x-z).

Passo 1

O enunciado pede, para a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} dada por
T(x,y,z)=(x-y,\;y-z,\;z-x,\;x-z),
que eu determine:
  • \operatorname{ker}(T) (o núcleo), e uma base para ele;
  • \operatorname{Im}(T) (a imagem), e uma base para ela;
  • o posto ( \operatorname{rank}(T)) e a nulidade ( \operatorname{nullity}(T)).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A fórmula explícita de T(x,y,z).
  • O espaço de partida é \mathbb{R}^3 e o de chegada é \mathbb{R}^4.

Passo 2

Primeiro, recapitulação curta do que vamos fazer (sem resolver ainda):
  • O núcleo \operatorname{ker}(T) é o conjunto \{v\in\mathbb{R}^3 : T(v)=0\}. Para encontrá-lo resolvemos o sistema homogêneo T(x,y,z)=0.
  • A imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T (ou pelos vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3)). Para encontrar uma base da imagem, calculamos essas colunas e extraímos um subconjunto linearmente independente que as gere.
  • O posto é a dimensão da imagem; a nulidade é a dimensão do núcleo. As dimensões satisfazem o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity):
\dim(\operatorname{ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=3.
Vou aplicar esses passos explicitamente.

Passo 3

Calculemos as imagens dos vetores canônicos \,e_1=(1,0,0),\;e_2=(0,1,0),\;e_3=(0,0,1)\,, pois elas serão as colunas da matriz de T.
T(e_1)=T(1,0,0)=(1-0,\;0-0,\;0-1,\;1-0)=(1,0,-1,1).
T(e_2)=T(0,1,0)=(0-1,\;1-0,\;0-0,\;0-0)=(-1,1,0,0).
T(e_3)=T(0,0,1)=(0-0,\;0-1,\;1-0,\;0-1)=(0,-1,1,-1).
Portanto as colunas da matriz A de T (no formato 4\times3) são
c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},
e
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos ver dependências lineares entre as colunas para encontrar o posto.
Observe que somando as três colunas obtemos
c_1+c_2+c_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo c_1+c_2+c_3=0, ou seja, as três colunas são linearmente dependentes. Portanto o posto é no máximo 2.
Agora verifico que c_1 e c_2 são linearmente independentes: se a c_1+b c_2=0, olhando para a segunda coordenada obtemos 0\cdot a + 1\cdot b = 0\Rightarrow b=0. Com b=0 a primeira coordenada dá a\cdot 1 = 0\Rightarrow a=0. Logo só a solução trivial existe, então c_1 e c_2 são independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 5

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, a nulidade é
\dim(\operatorname{ker}(T))=3-\dim(\operatorname{Im}(T))=3-2=1.
Mas vamos achar explicitamente [\operatorname{ker}(T)) resolvendo T(x,y,z)=0.
Escrevendo as componentes:
\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] y-z=0,\\[4pt] z-x=0,\\[4pt] x-z=0. \end{cases}
Da primeira equação x=y\]. Da segunda \(y=z. Portanto x=y=z. As outras equações são redundantes (verificam-se automaticamente se x=y=z). Assim
\operatorname{ker}(T)=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Uma base para \operatorname{ker}(T) é \{(1,1,1)\} e a nulidade é 1, como já tínhamos.]

Passo 6

A imagem é o subespaço gerado pelas colunas: \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}. Como já vimos c_3=-c_1-c_2, basta \{c_1,c_2\} para gerar a imagem. Portanto uma base conveniente é
\left\{\,\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Posso também descrever a imagem por equações lineares entre as coordenadas. Se (u_1,u_2,u_3,u_4)=T(x,y,z), então
u_1+u_2+u_3=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0,
e
u_1+u_2-u_4=(x-y)+(y-z)-(x-z)=0.
Essas duas equações definem um subespaço de dimensão 4-2=2, que coincide com a imagem. Ou seja,
\operatorname{Im}(T)=\{(u_1,u_2,u_3,u_4)\in\mathbb{R}^4\mid u_1+u_2+u_3=0,\;u_1+u_2-u_4=0\}.

Passo 7

Resumo dos valores numéricos (confirmando consistência):
  • \dim(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{rank}(T)=2.
  • \dim(\operatorname{ker}(T))=\operatorname{nullity}(T)=1.
    As bases encontradas são corretas e independência/geração já foram verificadas.

Resposta

\operatorname{ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,-1,1),\;(-1,1,0,0)\}
\operatorname{rank}(T)=2
\operatorname{nullity}(T)=1

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