Questão 3 (2 pts.). Considere a sentença:
- determine se
é uma sentença aberta ou fechada, justificando sua resposta, e expresse
em palavras,
- negue
, mostrando todos os passos para colocar a fórmula em forma tal que a negação apareça na frente de apenas fórmulas atômicas e expresse
em palavras.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar se
é uma sentença aberta ou fechada, justificando a resposta, e traduzir para palavras. - Negar
, mostrando todos os passos necessários para transformar a negação de modo que ela apareça apenas na frente de fórmulas atômicas, e traduzir para palavras.
A fórmula dada é
Passo 2
O que significa uma fórmula ser aberta ou fechada (explicação didática):
- Uma fórmula tem variáveis que podem ser “livres” ou “ligadas (bound)”.
- Uma variável é ligada quando aparece dentro do escopo de um quantificador que a usa (por exemplo,
ou ). - Uma fórmula é fechada (também chamada de sentença) se não houver variáveis livres nela — isto é, todas as variáveis estão ligadas por quantificadores.
- Uma fórmula é aberta se existe pelo menos uma variável livre.
Exemplo simples: a fórmulaé aberta (tem a variável livre ). A fórmula é fechada (a variável está ligada pelo quantificador).
Passo 3
Aplicando isso a
:
- A fórmula tem quantificadores
e no início, e dentro do corpo aparecem apenas as variáveis e . - Cada ocorrência de
e está no escopo dos respectivos quantificadores e . Portanto não há variáveis livres.
Conclusão:é uma fórmula fechada (uma sentença). (Justificativa: todos os nomes de variável são ligados por quantificadores universais no início.)
Passo 4
Expressando
em palavras (tradução literal e interpretação intuitiva):
- Fórmula simbólica:
- Tradução em palavras: “Para todos
e para todos , se não vale que ou , então .” - Interpretação intuitiva: sempre que duas coisas não estão relacionadas por
em nenhum dos sentidos (ou seja, nem nem é verdadeiro), então essas duas coisas são iguais. Em termos de ordens, diz que não existem dois elementos distintos que sejam incomparáveis — se eles não se relacionam por em nenhum sentido, então são o mesmo elemento.
Passo 5
Agora vamos negar
e levar a negação até aparecer só em frente a fórmulas atômicas, passo a passo. Primeiro escrevemos a negação diretamente:
Regra que vamos usar: a negação passa por um quantificador universal transformando-o em existencial:
Aplicando essa regra ao primeiro quantificador
e ao segundo
:
Passo 6
Aplicando a troca de quantificadores (duas vezes):
(Explicação: a negação de
torna-se
e a negação desloca-se para o corpo.)
Passo 7
Agora precisamos remover a negação que está em frente de uma implicação. Usamos a equivalência lógica:
Aqui
é
e
é
. Aplicando a equivalência:
Substituindo na expressão com quantificadores:
(Explicação: a negação de uma implicação significa que a hipótese ocorre e a conclusão falha.)
Passo 8
Ainda temos uma negação em frente de uma disjunção dentro de
. Aplicamos a Lei de De Morgan para disjunção:
Tomando
como
e
como
, obtemos:
Substituindo:
Agora a negação aparece apenas imediatamente em frente de fórmulas atômicas
. Portanto chegamos à forma desejada.
Passo 9
Expressando
em palavras (tradução e interpretação):
- Fórmula simbólica final:
- Tradução em palavras: “Existem
e tais que não vale , e não vale , e além disso .” - Interpretação intuitiva: existem dois elementos distintos que são incomparáveis pelo predicado
— isto é, há e diferentes para os quais nem nem é verdadeiro. Em termos de ordens, isso nega a propriedade de totalidade que expressava.