Questão 2 (2 pts.). Sejam:
-
e
-
.
Determine se
e justifique a resposta.
Determine se
Passo 1
O enunciado dá as fórmulas e pede para decidir se a consequência semântica vale. As informações são:
- Conjunto de premissas
. - Fórmula a verificar
.
A pergunta é: vale
? Ou seja, toda valuation que torna todas as fórmulas de
verdadeiras também torna
verdadeira?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
. Por definição:
se, e somente se, para toda valuation
(atribuição de verdade a
), se
para todo
então também
.
Para refutar basta apresentar uma valuation
tal que todas as fórmulas de
sejam verdadeiras em
e
seja falsa em
. Esse
é um contraexemplo semântico.
Para refutar
Passo 3
É útil transformar as fórmulas em formas equivalentes mais simples (isso ajuda a raciocinar). Aplicando equivalências conhecidas:
essa equivalência vem da Lei de De Morgan e da dupla negação. Também
que é a definição material da implicação. Assim podemos reescrever:
Passo 4
Para que
seja falsa (isto é, para que
seja falsa) precisamos que a disjunção
seja falsa. Uma disjunção só é falsa quando ambos os disjuntos são falsos, logo:
Portanto, qualquer contraexemplo terá de satisfazer
e
.
Passo 5
Com
e
vamos ver o que as premissas exigem. Primeiro, avalie
quando
:
portanto
Ou seja, quando
, a primeira premissa vale exatamente
.
Passo 6
A segunda premissa é
. Com
ela se reduz a
. Assim, sob a condição
, as duas premissas exigem ambas que
para serem verdadeiras.
Passo 7
Portanto, escolha a valuation
definida por
Agora avaliamos cada fórmula em
.
Passo 8
Avaliação explícita em
:
- Primeiro premissa:
. Com ,
então
- Segunda premissa:
- Conclusão:
. Com ,
Logo em
ambas as fórmulas de
são verdadeiras e
é falsa.
Passo 9
Tendo encontrado uma valuation
que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, concluímos que não é verdade que toda valuation que satisfaz
também satisfaz
. Portanto
não semanticalmente implica
.
Resposta
Não,
.