Se S é a superfície da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, calcular o valor da integral de superfície
integral duplaS x z d y wed>= d z+y z d z wed>= d x+x^2 d x wed>= d y
Eleger uma representação para que o produto vetorial fundamental tenha a direção da normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS xz,dywed>= dz ;+; yz,dzwed>= dx ;+; x^2,dxwed>= dy
sobre a esfera Scolon x^2+y^2+z^2=a^2, tomando como orientação a normal exterior.
Este problema é de fluxo de um campo vetorial pela superfície e será resolvido usando o Teorema da Divergência.

Passo 2

Reescrevemos a forma diferencial como fluxo de um campo
alpha = xz,dywed>= dz + yz,dzwed>= dx + x^2,dxwed>= dy ;long<=ftrightarrow; F(x,y,z) = l(F1,F2,F3r) = l(xz,;yz,;x^2r),
pois em coordenadas cartesianas fluxos satisfazem
Fcdot n,dS = F1,dywed>= dz + F2,dzwed>= dx + F3,dxwed>= dy

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência (orientação exterior),
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaV nablacdot F,dV,
onde V é a bola sólida de raio a.

Passo 4

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F = partialpartial x(xz) + partialpartial y(yz) + partialpartial z(x^2) = z + z + 0 = 2z

Passo 5

Logo a integral de volume fica
integral triplaV2z,dV
Mas a região V (bola centrada na origem) é simétrica em z, e z é função ímpar. Portanto
integral triplaV2z,dV = 0

Resposta

0

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