Se
é a superfície da esfera
, calcular o valor da integral de superfície
Eleger uma representação para que o produto vetorial fundamental tenha a direção da normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
sobre a esfera
, tomando como orientação a normal exterior.
Este problema é de fluxo de um campo vetorial pela superfície e será resolvido usando o Teorema da Divergência.
Este problema é de fluxo de um campo vetorial pela superfície e será resolvido usando o Teorema da Divergência.
Passo 2
Reescrevemos a forma diferencial como fluxo de um campo
pois em coordenadas cartesianas fluxos satisfazem
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência (orientação exterior),
onde
é a bola sólida de raio
.
Passo 4
Calculamos a divergência de
:
Passo 5
Logo a integral de volume fica
Mas a região
(bola centrada na origem) é simétrica em
, e
é função ímpar. Portanto