O número de ratos em um experimento segue P(t)=-t^2+8 t+10, onde P(t) é o número de ratos e t é o tempo em semanas.
(a) Quando o número de ratos atinge o valor máximo?
(b) Qual é esse valor?
(c) Após quantas semanas o número de ratos será novamente 10 ?

Passo 1

O enunciado dá a população de ratos como a função quadrática
P(t) = -t^2 + 8t + 10,
onde t é o tempo em semanas. Queremos (a) o instante em que essa parábola atinge valor máximo, (b) o valor máximo, e (c) quando P(t) volta a ser 10. Para isso, vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola e resolver a equação P(t)=10.

Passo 2

Para encontrar o tempo em que P(t) é máximo, usamos a fórmula do vértice de
P(t)=at^2+bt+c com a=-1 e b=8. O t do vértice é
tv = -b2a = -82cdot(-1) = 4
Logo, o máximo ocorre em t=4 semanas.

Passo 3

Para achar o valor máximo, basta calcular P(4):
P(4) = -4^2 + 8cdot4 + 10 = -16 + 32 + 10 = 26
Portanto, o número máximo de ratos é 26.

Passo 4

Para saber quando P(t)=10 de novo, resolvemos
-,t^2 + 8t + 10 = 10
Isso simplifica para
-,t^2 + 8t = 0 Longrightarrow t,(8 - t) = 0 Longrightarrow t = 0 ou t = 8
Como em t=0 já começamos com 10 ratos, o próximo instante é t=8 semanas.

Resposta

(a) 4 semanas
(b) 26 ratos
(c) 8 semanas

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