Reduza os números x=5,2121 \ldots e y=0,21507507 \ldots à forma de fração ordinária.

Passo 1

O enunciado pede para transformar em fração ordinária os números decimais periódicos
x = 5{,}212121\ldots e y = 0{,}215075075\ldots.
Vamos usar a técnica de “multiplicar para deslocar a vírgula” e subtrair para eliminar a parte periódica.

Passo 2

Para x note que a parte periódica é “21” (dois dígitos). Escrevemos
x = 5{,}212121\ldots
Multiplicando por 100 (pois o período tem 2 dígitos):
100x = 521{,}212121\ldots
Agora subtraímos:
100x - x = 521{,}212121\ldots - 5{,}212121\ldots
99x = 516 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{516}{99}.
Simplificando \frac{516}{99} dividindo numerador e denominador por 3:
x = \frac{172}{33}.

Passo 3

Para y a parte não periódica é “215” (três dígitos) e a parte periódica é “075” (três dígitos). Escrevemos
y = 0{,}215075075\ldots
Multiplicamos por 10^3=1000 para deslocar a parte não periódica:
1000y = 215{,}075075075\ldots
Multiplicamos por 10^6=1000000 para deslocar uma repetição inteira da parte periódica:
1000000y = 215075{,}075075075\ldots
Subtraindo:
1000000y - 1000y = 215075{,}075075\ldots - 215{,}075075\ldots
999000y = 215075 - 215 = 214860 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{214860}{999000}.
Agora simplificamos. Dividindo numerador e denominador por 60:
y = \frac{214860\div60}{999000\div60} = \frac{3581}{16650}.

Resposta

x = \displaystyle\frac{172}{33}.
y = \displaystyle\frac{3581}{16650}.

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