^a Questão. (2,5 pts)
Seja P um ponto fora da reta L que passa pelos pontos Q e R. Sabendo que a distância d do ponto P à reta L é dada por
d=|Q R times Q P||Q R|
calcule a distância do ponto P(1,1,1) à reta que passa pelos pontos Q(0,6,8) R(-1,4,7).

Passo 1

Tranquilo! A questão quer a distância do ponto P(1,1,1) até a reta L que passa por Q(0,6,8) e R(-1,4,7). Esse é um problema de geometria vetorial, envolvendo produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro a gente define os vetores que aparecem na fórmula da distância, que é
d=l|QRtimesQPr|l|QRr|
Então calculamos QR e QP.

Passo 3

Opa, vamos lá calcular:
QR=R-Q=(-1,4,7)-(0,6,8)=(-1,-2,-1)
QP=P-Q=(1,1,1)-(0,6,8)=(1,-5,-7)

Passo 4

Agora aplicamos a definição de produto vetorial em 3D. Se
QR=(-1,-2,-1),QP=(1,-5,-7),
então
QRtimesQP= i & j & k -1 & -2 & -1 1 & -5 & -7 =(9,-8,7)

Passo 5

Beleza, agora a gente acha as normas: a norma do produto vetorial é
l|QRtimesQPr|=raiz9^2+(-8)^2+7^2=raiz194,
e a norma de QR é
l|QRr|=raiz(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2=raiz6

Passo 6

Por fim, usando a fórmula da distância:
d=raiz194raiz6=raiz973

Resposta

raiz973

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