^a Questão. (2,5 pts)
Sejam os vetores
a=(2,1,-1) e b=(3,-4,2)
Calcule o vetor projeção ortogonal de b sobre a, isto é, proj a(b) e verifique que o vetor
b-proja(b)
é ortogonal a a.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de b=(3,-4,2) sobre a=(2,1,-1) e depois verificar que b-proja(b) é ortogonal a a. O conteúdo da matéria aqui é projeção de vetores, e para resolver vamos precisar entender produto escalar e a fórmula de projeção.

Passo 2

A teoria diz que, dado um vetor b e um vetor não nulo a, a projeção de b sobre a é:

Passo 3

proja(b) = bcdotaacdota,a

Passo 4

Agora, calculo o produto escalar bcdota e acdota:

Passo 5

bcdota = 2cdot3 + 1cdot(-4) + (-1)cdot2 = 0

Passo 6

acdota = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da projeção, temos:

Passo 8

proja(b) = 06,(2,1,-1) = (0,0,0)

Passo 9

Para verificar a ortogonalidade, observo que b-proja(b) = (3,-4,2). Então calculo o produto escalar:

Passo 10

(3,-4,2)cdot(2,1,-1) = 6 - 4 - 2 = 0

Passo 11

Como o produto escalar deu zero, concluo que b-proja(b) é ortogonal a a.

Resposta

A projeção é proja(b) = (0,0,0) e verificamos que b-proja(b) = (3,-4,2) é ortogonal a a.

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