Questão 1 (3 pts.) Seja a transformação linear cuja matriz na base canônica é . Determine:
(a) Os autovalores de T;
(b) Uma base para os subespaços associados aos autovalores;
(c) T é diagonalizável? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma base que diagonaliza o operador T.
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear T:R^3toR^3 com matriz na base canônica
[T]= 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1
determinar (a) os autovalores de T, (b) bases dos respectivos autespaços e (c) verificar se T é diagonalizável, encontrando então uma base que a diagonaliza.
Passo 2
Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico det([T]-lambda I). Observe que, ao expandir pela segunda linha,
Como a soma das dimensões dos autespaços é 1+2=3, igual à dimensão de R^3, concluímos que T é diagonalizável. Uma base de autovetores que a diagonaliza é
, (1,0,1),;(1,1,0),;(-1,0,1),
em que (1,0,1) pertence a E-2 e os outros dois pertencem a E4.
Resposta
(a) Os autovalores são lambda=-2 (multiplicidade 1) e lambda=4 (multiplicidade 2).
(b) Bases dos autespaços:
E-2=span(1,0,1), E4=span(1,1,0),,(-1,0,1)
(c) Sim, T é diagonalizável, e uma base que a diagonaliza é