Questão 1 (3 pts.) Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é [T]=(rcr1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1). Determine:
(a) Os autovalores de T;
(b) Uma base para os subespaços associados aos autovalores;
(c) T é diagonalizável? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma base que diagonaliza o operador T.

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear T:R^3toR^3 com matriz na base canônica
[T]= 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1
determinar (a) os autovalores de T, (b) bases dos respectivos autespaços e (c) verificar se T é diagonalizável, encontrando então uma base que a diagonaliza.

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico det([T]-lambda I). Observe que, ao expandir pela segunda linha,
det([T]-lambda I) =(4-lambda)det1-lambda & -3-3 & 1-lambda =(4-lambda)l((1-lambda)^2-9r)
Fatorando (1-lambda)^2-9=(1-lambda-3)(1-lambda+3)=(-lambda-2)(4-lambda), obtemos
det([T]-lambda I) =(4-lambda)(-lambda-2)(4-lambda) =(lambda+2)(4-lambda)^2

Passo 3

Os autovalores são as raízes de det([T]-lambda I)=0. Logo
lambda1=-2(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2=4(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Para lambda1=-2 resolvemos ([T]+2I)x=0:
[T]+2I =3&3&-30&6&0-3&3&3 ;longrightarrow; x2=0,;x1-x3=0
Daí x1=x3 e x2=0, ou seja,
E-2=(t,0,t)mid tinR
tem base, por exemplo, (1,0,1).

Passo 5

Para lambda2=4 resolvemos ([T]-4I)x=0:
[T]-4I =-3&3&-30&0&0-3&3&-3 ;longrightarrow; x1-x2+x3=0
Tomando x2=s, x3=t, vem x1=s-t. Assim
E4=(s-t,s,t)mid s,tinR =span(1,1,0),,(-1,0,1)

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autespaços é 1+2=3, igual à dimensão de R^3, concluímos que T é diagonalizável. Uma base de autovetores que a diagonaliza é
, (1,0,1),;(1,1,0),;(-1,0,1),
em que (1,0,1) pertence a E-2 e os outros dois pertencem a E4.

Resposta

(a) Os autovalores são lambda=-2 (multiplicidade 1) e lambda=4 (multiplicidade 2).
(b) Bases dos autespaços:
E-2=span(1,0,1), E4=span(1,1,0),,(-1,0,1)
(c) Sim, T é diagonalizável, e uma base que a diagonaliza é
(1,0,1),,(1,1,0),,(-1,0,1)

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