Questão 2 (2 pts.). Sejam V e W espaços vetoriais e T: V \longrightarrow W uma transformação linear. Mostre que T é injetora se, e somente se, \operatorname{ker}(T)=\{0\}.

Passo 1

Enunciado e dados: Somos dados espaços vetoriais V e W e uma transformação linear T: V \longrightarrow W. O que o problema pede é mostrar a equivalência lógica
T \text{ é injetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{ker}(T)=\{0\}.é
Dados relevantes que já temos no enunciado:
\text{(i)}\quad T\\ \text{é linear},é
\text{(ii)}\quad \operatorname{ker}(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
Não faremos ainda nenhum desenvolvimento; apenas listamos o que o enunciado dá e o que se pede.

Passo 2

Definição clara de injetividade (para usarmos depois): dizer que T é injetora significa que, para quaisquer u,v\in V,
T(u)=T(v)\\ \Longrightarrow\\ u=v.
Vou explicar isso com calma: injetividade quer dizer que dois vetores diferentes em V não podem ser levados ao mesmo vetor em W. Em linguagem prática, se a imagem coincide então os originais têm de ser iguais.

Passo 3

Definição clara do núcleo e uma propriedade básica retirada da linearidade: o núcleo de T é
\operatorname{ker}(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
Uma observação útil (que decorre da linearidade) é que o vetor nulo 0\in V pertence sempre ao núcleo, porque
T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\quad\Rightarrow\quad T(0)=0,
ou, alternativamente, usando multiplicação por escalar,
T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0.
Portanto 0\in\operatorname{ker}(T).

Passo 4

Prova da implicação “ T injetora \Rightarrow \operatorname{ker}(T)=\{0\}”: suponha que T é injetora. Tome um vetor arbitrário v\in\operatorname{ker}(T). Por definição de núcleo, T(v)=0. Mas também vimos que T(0)=0. Como T(v)=T(0) e T é injetora, concluímos que v=0. Assim qualquer elemento do núcleo é igual a 0, ou seja
\operatorname{ker}(T)\subseteq\{0\}.
Como já sabemos que 0\in\operatorname{ker}(T), obtemos a igualdade
\operatorname{ker}(T)=\{0\}.
Isso prova a primeira direção.

Passo 5

Prova da implicação “ \operatorname{ker}(T)=\{0\} \Rightarrow T injetora”: suponha agora que \operatorname{ker}(T)=\{0\}. Queremos mostrar que T é injetora. Pegue u,v\in V tais que T(u)=T(v). Usando linearidade temos
T(u)-T(v)=0.
Como T é linear, T(u)-T(v)=T(u-v) (porque T(u-v)=T(u)+T(-v)=T(u)-T(v)). Logo T(u-v)=0, isto é, u-v\in\operatorname{ker}(T). Pela hipótese do núcleo ser apenas \{0\} segue que u-v=0, portanto u=v. Como a igualdade T(u)=T(v) implica u=v para quaisquer u,v, concluímos que T é injetora.

Passo 6

Resumo final da lógica: mostramos ambas as direções:
  • se T é injetora então \operatorname{ker}(T)=\{0\};
  • se \operatorname{ker}(T)=\{0\} então T é injetora.
    Portanto as duas propriedades são equivalentes. Boa! Isso é uma ferramenta clássica: procurar o núcleo é uma maneira prática de testar injetividade de transformações lineares.

Resposta

\displaystyle T\text{ é injetora}\Longleftrightarrow \operatorname{ker}(T)=\{0\}é

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