Questão 2 (2 pts.). Sejam
e
espaços vetoriais e
uma transformação linear. Mostre que
é injetora se, e somente se,
.
Passo 1
Enunciado e dados: Somos dados espaços vetoriais
e
e uma transformação linear
. O que o problema pede é mostrar a equivalência lógica
Dados relevantes que já temos no enunciado:
Não faremos ainda nenhum desenvolvimento; apenas listamos o que o enunciado dá e o que se pede.
Passo 2
Definição clara de injetividade (para usarmos depois): dizer que
é injetora significa que, para quaisquer
,
Vou explicar isso com calma: injetividade quer dizer que dois vetores diferentes em
não podem ser levados ao mesmo vetor em
. Em linguagem prática, se a imagem coincide então os originais têm de ser iguais.
Passo 3
Definição clara do núcleo e uma propriedade básica retirada da linearidade: o núcleo de
é
Uma observação útil (que decorre da linearidade) é que o vetor nulo
pertence sempre ao núcleo, porque
ou, alternativamente, usando multiplicação por escalar,
Portanto
.
Passo 4
Prova da implicação “
injetora
”: suponha que
é injetora. Tome um vetor arbitrário
. Por definição de núcleo,
. Mas também vimos que
. Como
e
é injetora, concluímos que
. Assim qualquer elemento do núcleo é igual a
, ou seja
Como já sabemos que
, obtemos a igualdade
Isso prova a primeira direção.
Passo 5
Prova da implicação “
injetora”: suponha agora que
. Queremos mostrar que
é injetora. Pegue
tais que
. Usando linearidade temos
Como
é linear,
(porque
). Logo
, isto é,
. Pela hipótese do núcleo ser apenas
segue que
, portanto
. Como a igualdade
implica
para quaisquer
, concluímos que
é injetora.
Passo 6
Resumo final da lógica: mostramos ambas as direções:
- se
é injetora então ; - se
então é injetora.
Portanto as duas propriedades são equivalentes. Boa! Isso é uma ferramenta clássica: procurar o núcleo é uma maneira prática de testar injetividade de transformações lineares.