^a Questão. (2,5 pts) Sejam os pontos
A=(1,2,3), B=(4,2,6), C=(7,6,3)
Verifique se o triângulo A B C é retângulo e calcule sua área.

Passo 1

A questão fornece os pontos A=(1,2,3), B=(4,2,6) e C=(7,6,3). O objetivo é verificar se o triângulo ABC é retângulo e depois calcular sua área. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar produto escalar para testar ângulos retos e produto vetorial para encontrar área.

Passo 2

Primeiro, montamos os vetores que representam os lados:
AB = (4-1,,2-2,,6-3) = (3,0,3),
BC = (7-4,,6-2,,3-6) = (3,4,-3),
AC = (7-1,,6-2,,3-3) = (6,4,0)

Passo 3

Para verificar o ângulo reto, calculamos o produto escalar de cada par de vetores que se encontram nos vértices. O produto escalar é dado por ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3. Aqui,
ABcdot BC = 3cdot3 + 0cdot4 + 3cdot(-3) = 9 - 9 = 0
Como esse resultado é zero, o ângulo em B é reto. Logo, o triângulo é retângulo em B.

Passo 4

Para calcular a área, usamos que a área do triângulo é metade da norma do produto vetorial de dois lados que se encontram no ângulo reto. Ou seja,
Área = 12 l|ABtimes BCr|Á
Calculando o produto vetorial pelo determinante, encontramos ABtimes BC = (-12,18,12). A norma desse vetor é
raiz(-12)^2 + 18^2 + 12^2 = raiz144 + 324 + 144 = raiz612 = 6raiz17
Portanto, a área é
12 cdot 6raiz17 = 3raiz17

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em B e sua área é 3raiz17.

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