Questão 2. ( 3.0 pts ) Tem-se 7 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta S paralela à R. Quanto triângulos com vértices em 3 desses 15 pontos existem? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de combinatória! A gente tem duas retas paralelas, a reta $ R $ com 7 pontos e a reta $ S $ com 8 pontos. Precisamos descobrir quantos triângulos podemos formar escolhendo 3 desses 15 pontos. Para isso, vamos usar combinações, que nos ajudam a contar de quantas formas podemos selecionar itens sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de escolher 3 pontos entre os 15 disponíveis, sem nenhuma restrição. Usamos a combinação:
C(15, 3) = 15!3! times (15-3)! = 455
Então, há 455 maneiras de escolher 3 pontos.

Passo 3

Agora, precisamos excluir as escolhas que não formam triângulos. Isso acontece quando os 3 pontos escolhidos estão todos na mesma reta, pois pontos alinhados não formam um triângulo.

Passo 4

Vamos calcular quantas combinações temos somente na reta $ R $:
R

Passo 5

E também quantas combinações temos somente na reta $ S $:
S

Passo 6

Somando essas combinações que não formam triângulos:
35 + 56 = 91

Passo 7

Para encontrar o número de triângulos válidos, subtraímos essas combinações inválidas do total de combinações:
455 - 91 = 364

Resposta

Existem 364 triângulos possíveis com vértices nos 15 pontos dados.

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