Questão 2. ( 3.0 pts ) Tem-se 7 pontos sobre uma reta
e 8 pontos sobre uma reta
paralela à
. Quanto triângulos com vértices em 3 desses 15 pontos existem? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de combinatória! A gente tem duas retas paralelas, a reta $ R $ com 7 pontos e a reta $ S $ com 8 pontos. Precisamos descobrir quantos triângulos podemos formar escolhendo 3 desses 15 pontos. Para isso, vamos usar combinações, que nos ajudam a contar de quantas formas podemos selecionar itens sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de escolher 3 pontos entre os 15 disponíveis, sem nenhuma restrição. Usamos a combinação:
Então, há 455 maneiras de escolher 3 pontos.
Passo 3
Agora, precisamos excluir as escolhas que não formam triângulos. Isso acontece quando os 3 pontos escolhidos estão todos na mesma reta, pois pontos alinhados não formam um triângulo.
Passo 4
Vamos calcular quantas combinações temos somente na reta $ R $:
Passo 5
E também quantas combinações temos somente na reta $ S $:
Passo 6
Somando essas combinações que não formam triângulos:
Passo 7
Para encontrar o número de triângulos válidos, subtraímos essas combinações inválidas do total de combinações:
Resposta
Existem 364 triângulos possíveis com vértices nos 15 pontos dados.