Questão 1. ( 3.0 pts) Escolha apenas 3 dos itens abaixo e calcule o que se pede:
(a) Quantos anagramas da palavra PROFESSOR, começam com as letras P,R,O, não necessariamente nesta ordem?
(a) Quantos anagramas da palavra PROFESSOR, começam com as letras P,R,O, não necessariamente nesta ordem?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de anagramas da palavra “PROFESSOR”. O enunciado pede para calcular quantos anagramas começam com as letras P, R, O, não necessariamente nessa ordem. Para isso, vamos usar conceitos de arranjos e permutação de letras com repetições.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a palavra “PROFESSOR”. Ela tem 9 letras: P, R, O, F, E, S, S, O, R. Notamos que algumas letras se repetem:
- R aparece 2 vezes
- O aparece 2 vezes
- S aparece 2 vezes
Passo 3
O problema pede que os anagramas comecem com as letras P, R, O, em qualquer ordem. Isso significa que as três primeiras posições devem ser ocupadas por essas três letras, mas a ordem delas pode variar.
Passo 4
Vamos calcular quantas maneiras temos de arranjar as letras P, R, O nas três primeiras posições. Como temos 3 letras distintas, o número de arranjos possíveis é dado por 3! (3 fatorial), que é:
Passo 5
Depois de fixar as primeiras três letras como P, R, O em alguma ordem, restam 6 letras para serem arranjadas nas posições restantes. As letras que sobraram são: R, O, F, E, S, S.
Passo 6
Agora, precisamos calcular quantas maneiras existem de arranjar essas 6 letras. Mas atenção: temos letras repetidas (S aparece 2 vezes). Para arranjar letras com repetições, usamos a fórmula de permutação:
Onde $ n $ é o total de letras e $ p_i $ são as repetições.
Passo 7
Aplicando essa fórmula:
- Total de letras restantes: 6
- Letras repetidas: S aparece 2 vezes
Portanto:
Passo 8
Para encontrar o total de anagramas que começam com P, R, O em qualquer ordem, multiplicamos as possibilidades das primeiras três posições pelas das posições restantes:
Resposta
Existem 2160 anagramas da palavra “PROFESSOR” que começam com as letras P, R, O, não necessariamente nesta ordem.