Questão 1. ( 3.0 pts) Escolha apenas 3 dos itens abaixo e calcule o que se pede:
(a) Quantos anagramas da palavra PROFESSOR, começam com as letras P,R,O, não necessariamente nesta ordem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de anagramas da palavra “PROFESSOR”. O enunciado pede para calcular quantos anagramas começam com as letras P, R, O, não necessariamente nessa ordem. Para isso, vamos usar conceitos de arranjos e permutação de letras com repetições.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a palavra “PROFESSOR”. Ela tem 9 letras: P, R, O, F, E, S, S, O, R. Notamos que algumas letras se repetem:
  • R aparece 2 vezes
  • O aparece 2 vezes
  • S aparece 2 vezes

Passo 3

O problema pede que os anagramas comecem com as letras P, R, O, em qualquer ordem. Isso significa que as três primeiras posições devem ser ocupadas por essas três letras, mas a ordem delas pode variar.

Passo 4

Vamos calcular quantas maneiras temos de arranjar as letras P, R, O nas três primeiras posições. Como temos 3 letras distintas, o número de arranjos possíveis é dado por 3! (3 fatorial), que é:
3! = 3 times 2 times 1 = 6

Passo 5

Depois de fixar as primeiras três letras como P, R, O em alguma ordem, restam 6 letras para serem arranjadas nas posições restantes. As letras que sobraram são: R, O, F, E, S, S.

Passo 6

Agora, precisamos calcular quantas maneiras existem de arranjar essas 6 letras. Mas atenção: temos letras repetidas (S aparece 2 vezes). Para arranjar letras com repetições, usamos a fórmula de permutação:
n!p1! times p2! times dots times pk!
Onde $ n $ é o total de letras e $ p_i $ são as repetições.

Passo 7

Aplicando essa fórmula:
  • Total de letras restantes: 6
  • Letras repetidas: S aparece 2 vezes
Portanto:
6!2! = 7202 = 360

Passo 8

Para encontrar o total de anagramas que começam com P, R, O em qualquer ordem, multiplicamos as possibilidades das primeiras três posições pelas das posições restantes:
6 times 360 = 2160

Resposta

Existem 2160 anagramas da palavra “PROFESSOR” que começam com as letras P, R, O, não necessariamente nesta ordem.

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