Explicando devagar: cada entrada é uma derivada parcial — por exemplo \dfrac{\partial x}{\partial u} significa derivar x em relação a u mantendo v constante. Para uma matriz 2\times2 com entradas \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc. Vamos aplicar isso passo a passo.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais uma a uma (lembrando que, ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante):
Interpretação rápida e dica para a prova: o jacobiano ficou \,3u. Isso significa que a razão de variação de área (ou mudança de elemento de área) entre os sistemas (u,v) e (x,y) depende linearmente de u. Em particular, se u=0 o jacobiano é zero (a transformação localmente “esmaga” áreas naquele ponto).