Questão [q10]. Calcule o jacobiano \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} da transformação
x=u, \quad y=3 u v .
□ 1
\frac{6 u}{v}
3 u
□ 0
\frac{3 u}{v}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação entre variáveis:
x = u,\qquad y = 3 u v.
O que se pede é o valor do jacobiano
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Ou seja, calcular o determinante da matriz cujas entradas são as derivadas parciais de x e y em relação a u e v.

Passo 2

Lembra: para duas variáveis, o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é definido como o determinante da matriz
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Explicando devagar: cada entrada é uma derivada parcial — por exemplo \dfrac{\partial x}{\partial u} significa derivar x em relação a u mantendo v constante. Para uma matriz 2\times2 com entradas \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc. Vamos aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais uma a uma (lembrando que, ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante):
\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(u) = 1,
\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(u) = 0\quad\text{(pois \(u\) é constante quando derivamos em relação a \(v\))},éçã
\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(3 u v) = 3v\quad\text{(derivada de \(u\) é \(1\), multiplicada por \(3v\))},é
\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(3 u v) = 3u\quad\text{(aqui \(u\) é constante, derivada de \(v\) é \(1\))}.éé

Passo 4

Agora montamos a matriz jacobiana e calculamos o determinante usando a regra ad-bc:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\[4pt] 3v & 3u \end{vmatrix} = 1\cdot(3u) - 0\cdot(3v) = 3u - 0 = 3u.]

Passo 5

Interpretação rápida e dica para a prova: o jacobiano ficou \,3u. Isso significa que a razão de variação de área (ou mudança de elemento de área) entre os sistemas (u,v) e (x,y) depende linearmente de u. Em particular, se u=0 o jacobiano é zero (a transformação localmente “esmaga” áreas naquele ponto).

Resposta

3u

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