Questão [q7]. Calcule a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \cos \left(y^{2}\right) d y d x
invertendo a ordem da integração.
\frac{1}{3}
\cos (1)
-\frac{1}{2}
□ sen (1)
\frac{1}{2} \operatorname{sen}(1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx
invertendo a ordem de integração.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos\bigl(y^{2}\bigr).
  • Os limites internos são y de x a 1 e o limite externo é x de 0 a 1.
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla trocando a ordem de integração.

Passo 2

Descrever a região de integração R no plano xy. A partir dos limites temos
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x\le y\le 1\}.
Isto é o triângulo no quadrante com vértices (0,0), (0,1) e (1,1), acima da reta y=x. Para inverter a ordem: fixando y, x varia desde x=0 até x=y; e y varia no intervalo de 0 até 1. Portanto os limites invertidos são
y\in[0,1],\qquad x\in[0,y].

Passo 3

Escrever a integral com a ordem invertida e integrar em x primeiro:
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Aqui \cos\bigl(y^{2}\bigr) é constante em relação a x, logo
\int_{0}^{y}\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dx=\cos\bigl(y^{2}\bigr)\cdot\bigl[x\bigr]_{0}^{y}=y\cos\bigl(y^{2}\bigr).
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples:
\int_{0}^{1}y\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int_{0}^{1}y\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy por substituição. Defina
u=y^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2y\,dy\quad\Rightarrow\quad y\,dy=\frac{du}{2}.
Quando y=0 tem-se u=0 e quando y=1 tem-se u=1. Portanto
\int_{0}^{1}y\cos\bigl(y^{2}\bigr)\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du =\frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\sin(1).

Passo 5

Interpretando em termos das alternativas dadas, o resultado é exatamente \dfrac{1}{2}\sin(1), que corresponde à última alternativa.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sin(1)

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