Questão [q5]. Suponha que
seja a região limitada pelas esferas
com
. Qual das alternativas expressa a integral
em coordenadas esféricas?
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Passo 1
O enunciado pede para escrever em coordenadas esféricas a integral
onde
é a região limitada pelas esferas
com a condição
.
Informações relevantes fornecidas:
- A região está entre as esferas de raio
e . - Há a restrição
(metade do espaço em que a coordenada é não negativa). - Quer-se a expressão da integral tripla em coordenadas esféricas (limites e integrando apropriado).
Passo 2
Definição de coordenadas esféricas que vou usar (padrão usual):
onde
,
(ângulo polar medido a partir do eixo
) e
(ângulo azimutal no plano
).
Também lembrando a forma do elemento de volume em esféricas:
Também lembrando a forma do elemento de volume em esféricas:
Aqui explique:
é a distância à origem,
mede “pra baixo” a partir do eixo
e
é o ângulo no plano
. O fator
é o Jacobiano da mudança de variáveis e representa quanto o volume é esticado nessas coordenadas.
Passo 3
Converter o integrando
para esféricas.
Substituindo
e
:
Desenvolvendo as potências:
Explicando passo a passo: cada
e
traz um fator
e um
, por isso aparece
e
; os fatores angulares
e
aparecem ao quadrado.
Passo 4
Multiplicar o integrando convertido pelo elemento de volume
.
Temos
logo o integrando total fica
Multiplicando os fatores de
e de
:
Comentário didático: o fator
vem de
(do
) vezes
(do Jacobiano). O
vem de
vezes
.
Passo 5
Determinar os limites de integração para
usando a descrição da região
.
- Limite radial
: a região está entre as esferas e . Portanto
- Limite polar
: a região entre as esferas não restringe (a condição não envolve isoladamente), então varia por toda a faixa polar:
- Limite azimutal
: a condição em coordenadas esféricas é
Como
e
para
(observe que
é não negativa no intervalo fechado), a condição
reduz-se a
, o que ocorre quando
Portanto
percorre
.
Passo 6
Montar a integral tripla com os limites escolhidos e com a ordem dos diferenciais coerente com as opções.
Usando a expressão do integrando encontrada no Passo 4 e os limites do Passo 5, uma forma correta da integral é
Observações para conferir com as alternativas:
- O fator
coincide com o integrando calculado. - Os limites
, , refletem as esferas concêntricas e a condição .
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a expressão que corresponde exatamente ao que obtivemos é a primeira alternativa: