Questão [q5]. Suponha que D seja a região limitada pelas esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad \text { e } \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
com y \geq 0. Qual das alternativas expressa a integral
\iiint_{D} x^{2} y^{2} d x d y d z
em coordenadas esféricas?
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho^{6} \operatorname{sen}^{5} \varphi \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta d \rho d \theta d \varphi
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{4} \rho^{6} \operatorname{sen}^{5} \varphi \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta d z d y d x
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho^{4} \operatorname{sen}^{4} \varphi \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta d \rho d \theta d \varphi
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{1}^{2} \rho^{6} \operatorname{sen}^{4} \varphi \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta d \rho d \theta d \varphi
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{1}^{2} \rho^{4} \operatorname{sen}^{4} \varphi \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta d \rho d \theta d \varphi

Passo 1

O enunciado pede para escrever em coordenadas esféricas a integral
\iiint_{D} x^{2}y^{2}\,dx\,dy\,dz
onde D é a região limitada pelas esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
com a condição y\ge 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região está entre as esferas de raio 1 e 2.
  • Há a restrição y\ge 0 (metade do espaço em que a coordenada y é não negativa).
  • Quer-se a expressão da integral tripla em coordenadas esféricas (limites e integrando apropriado).

Passo 2

Definição de coordenadas esféricas que vou usar (padrão usual):
x=\rho\,\operatorname{sen}\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\,\operatorname{sen}\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde 0\le\rho<\infty, 0\le\varphi\le\pi (ângulo polar medido a partir do eixo z) e 0\le\theta<2\pi (ângulo azimutal no plano xy).
Também lembrando a forma do elemento de volume em esféricas:
dV = \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui explique: \rho é a distância à origem, \varphi mede “pra baixo” a partir do eixo z e \theta é o ângulo no plano xy. O fator \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi é o Jacobiano da mudança de variáveis e representa quanto o volume é esticado nessas coordenadas.

Passo 3

Converter o integrando x^{2}y^{2} para esféricas.
Substituindo x e y:
x^{2}y^{2}=(\rho\,\operatorname{sen}\varphi\cos\theta)^{2}\,(\rho\,\operatorname{sen}\varphi\sin\theta)^{2}.
Desenvolvendo as potências:
x^{2}y^{2}=\rho^{4}\operatorname{sen}^{4}\varphi\;\cos^{2}\theta\;\operatorname{sen}^{2}\theta.
Explicando passo a passo: cada x e y traz um fator \rho e um \operatorname{sen}\varphi, por isso aparece \rho^{4} e \operatorname{sen}^{4}\varphi; os fatores angulares \cos\theta e \sin\theta aparecem ao quadrado.

Passo 4

Multiplicar o integrando convertido pelo elemento de volume dV.
Temos
dV=\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
logo o integrando total fica
x^{2}y^{2}\,dV=\bigl(\rho^{4}\operatorname{sen}^{4}\varphi\cos^{2}\theta\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr)\cdot\bigl(\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\bigr).
Multiplicando os fatores de \rho e de \operatorname{sen}\varphi:
x^{2}y^{2}\,dV=\rho^{6}\operatorname{sen}^{5}\varphi\;\operatorname{sen}^{2}\theta\;\cos^{2}\theta\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Comentário didático: o fator \rho^{6} vem de \rho^{4} (do x^{2}y^{2}) vezes \rho^{2} (do Jacobiano). O \operatorname{sen}^{5}\varphi vem de \operatorname{sen}^{4}\varphi vezes \operatorname{sen}\varphi.

Passo 5

Determinar os limites de integração para \rho,\varphi,\theta usando a descrição da região D.
  • Limite radial \rho: a região está entre as esferas \rho=1 e \rho=2. Portanto
1\le \rho \le 2.
  • Limite polar \varphi: a região entre as esferas não restringe \varphi (a condição y\ge0 não envolve \varphi isoladamente), então \varphi varia por toda a faixa polar:
0\le \varphi \le \pi.
  • Limite azimutal \theta: a condição y\ge 0 em coordenadas esféricas é
y=\rho\operatorname{sen}\varphi\sin\theta \ge 0.
Como \rho\ge0 e \operatorname{sen}\varphi\ge0 para \varphi\in[0,\pi] (observe que \operatorname{sen}\varphi é não negativa no intervalo fechado), a condição y\ge0 reduz-se a \sin\theta\ge0, o que ocorre quando
0\le \theta \le \pi.
Portanto \theta percorre [0,\pi].

Passo 6

Montar a integral tripla com os limites escolhidos e com a ordem dos diferenciais coerente com as opções.
Usando a expressão do integrando encontrada no Passo 4 e os limites do Passo 5, uma forma correta da integral é
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \rho^{6}\operatorname{sen}^{5}\varphi\;\operatorname{sen}^{2}\theta\;\cos^{2}\theta\; d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Observações para conferir com as alternativas:
  • O fator \rho^{6}\operatorname{sen}^{5}\varphi\operatorname{sen}^{2}\theta\cos^{2}\theta coincide com o integrando calculado.
  • Os limites \rho\in[1,2], \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,\pi] refletem as esferas concêntricas e a condição y\ge0.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a expressão que corresponde exatamente ao que obtivemos é a primeira alternativa:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho^{6} \operatorname{sen}^{5}\varphi\;\operatorname{sen}^{2}\theta\;\cos^{2}\theta\; d\rho\,d\theta\,d\varphi.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho^{6} \operatorname{sen}^{5}\varphi \operatorname{sen}^{2}\theta \cos^{2}\theta \, d\rho \, d\theta \, d\varphi

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