Questão 1 do questionário em PDF - Um fluido com massa específica \rho escoa em regime permanente entre duas placas infinitas, verticais e paralelas. A direção do escoamento é vertical e o sentido coincide com o do sentido negativo do eixo y. O escoamento é laminar, plenamente desenvolvido e o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Utilize as equações de Navier-Stokes para obter uma equação para a vazão do escoamento neste canal, e considerando que este canal apresenta uma largura \mathrm{w}=1,0 \mathrm{~m}, distância entre as placas de 4 mm , viscosidade absoluta de 0,44 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e densidade de 800 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, determine o valor desta vazão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) usar as equações de Navier–Stokes para obter uma expressão da vazão do escoamento entre duas placas paralelas; (ii) calcular numericamente essa vazão para os dados fornecidos. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
\rho=800\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade do fluido),
\mu=0{,}44\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} (viscosidade absoluta),
\mathrm{w}=1{,}0\\ \mathrm{m} (largura do canal, direção perpendicular ao plano de corte),
distância entre as placas h=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m},
o escoamento é permanente, laminar, plenamente desenvolvido, com gradiente de pressão nulo e a direção do escoamento é vertical apontando para o sentido negativo do eixo y. A tarefa é então: obter a fórmula de Q (vazão) e calcular Q numericamente com esses valores.

Passo 2

Escolha de coordenadas e simplificações (explicação didática).
Vou tomar:
  • y eixo vertical (para cima positivo). O escoamento é ao longo do eixo y e o vetor velocidade tem componente v_y.
  • x coordenada normal às placas (transversal), com as placas planas paralelas localizadas em x=\pm h/2. Assim o espaço entre as placas vai de x=-h/2 a x=+h/2.
    Porque o escoamento é “plenamente desenvolvido” e as placas são infinitas, a velocidade tem apenas componente na direção y e depende só de x: vou chamar essa componente de v(x). Isso significa que todas as derivadas em y e na direção infinda são zero, e v=v(x).
Relembrando uma ideia física: Corpo de massa por unidade volume (força por volume) devido à gravidade é \rho \mathbf{g}. Como o escoamento é vertical e para baixo (sentido negativo de y), a componente de gravidade ao longo do eixo y é g_y=-g, com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Escrevendo a equação de Navier–Stokes reduzida (aula curta sobre a equação).
A forma geral (unidimensional, estacionária, sem aceleração convectiva neste caso) da equação de quantidade de movimento na direção y é
0 = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \rho g_{y}.
Explicando cada termo:
  • -\dfrac{\partial p}{\partial y} é o gradiente de pressão na direção y.
  • \mu\dfrac{d^{2}v}{dx^{2}} é a força viscosa por unidade de volume (viscosidade vezes curvatura do perfil de velocidade).
  • \rho g_{y} é a força peso por unidade de volume na direção y.
Pelo enunciado, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo, então \dfrac{\partial p}{\partial y}=0. Além disso g_{y}=-g. Substituindo:
0 = 0 + \mu\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \rho(-g),
ou seja
\mu\frac{d^{2}v}{dx^{2}} - \rho g = 0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial para v(x) (explicando integração passo a passo).
A equação é uma ODE simples de segunda ordem:
\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = \frac{\rho g}{\mu}.
Integramos uma vez em relação a x:
\frac{dv}{dx} = \frac{\rho g}{\mu}\,x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Integramos de novo:
v(x) = \frac{\rho g}{2\mu}\,x^{2} + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 5

Aplicar condições de contorno (no-slip) e usar simetria.
As placas estão em x=\pm h/2 e a condição de não deslizamento (no-slip) em cada placa impõe
v\bigl(x=\pm h/2\bigr)=0.
Como a geometria e as forças são simétricas em torno do plano central x=0, o perfil de velocidade é simétrico e a derivada em x=0 é zero, o que implica C_{1}=0. Aplicando v(h/2)=0 com C_{1}=0 dá:
0 = \frac{\rho g}{2\mu}\left(\frac{h}{2}\right)^{2} + C_{2} \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -\frac{\rho g}{2\mu}\cdot\frac{h^{2}}{4} = -\frac{\rho g h^{2}}{8\mu}.
Portanto o perfil de velocidade resultante é
v(x) = \frac{\rho g}{2\mu}\left(x^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right).
Comentário físico: para x=0 (centro) obtemos o valor máximo absoluto (negativo, indicando fluxo para baixo), e em x=\pm h/2 o valor é zero como imposto.

Passo 6

Calcular a vazão volumétrica Q (definição e integração).
A vazão volumétrica total Q através de uma seção reta do canal é a integral da velocidade sobre a área da seção. Como as placas são longas na direção perpendicular ao plano do corte, a área de seção é largura \mathrm{w} vezes a espessura h. Mais precisamente:
Q = \mathrm{w}\int_{-h/2}^{h/2} v(x)\,dx.
Substituindo v(x):
Q = \mathrm{w}\int_{-h/2}^{h/2} \frac{\rho g}{2\mu}\left(x^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)\,dx.
Colocando o fator constante fora da integral:
Q = \mathrm{w}\cdot\frac{\rho g}{2\mu}\int_{-h/2}^{h/2}\left(x^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)\,dx.

Passo 7

Avaliar a integral explicitamente (contas detalhadas).
Calcule cada parte separadamente.
  1. Integral de x^{2} em limites simétricos:
\int_{-h/2}^{h/2} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{h/2} x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{h/2} = 2\cdot\frac{(h/2)^{3}}{3} = \frac{h^{3}}{12}.
  1. Integral da constante \dfrac{h^{2}}{4}:
\int_{-h/2}^{h/2}\frac{h^{2}}{4}\,dx = \frac{h^{2}}{4}\cdot\left(h\right)=\frac{h^{3}}{4}.
Subtraindo:
\int_{-h/2}^{h/2}\left(x^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)\,dx = \frac{h^{3}}{12}-\frac{h^{3}}{4} = -\frac{h^{3}}{6}.
Então a vazão fica
Q = \mathrm{w}\cdot\frac{\rho g}{2\mu}\left(-\frac{h^{3}}{6}\right) = -\frac{\rho g\,\mathrm{w}\,h^{3}}{12\mu}.
Explicação do sinal: o sinal negativo indica que o fluxo está no sentido negativo de y (para baixo), como informado no enunciado. Se quisermos apenas o valor numérico da vazão (módulo), tomamos o valor absoluto.

Passo 8

Substituir os valores numéricos e calcular Q (passo a passo com números).
Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, \rho=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \mathrm{w}=1{,}0\\ \mathrm{m}, h=0{,}004\\ \mathrm{m} e \mu=0{,}44\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
Primeiro calcule h^{3}:
h^{3} = (0{,}004)^{3} = 6{,}4\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora o numerador \rho g \,\mathrm{w}\, h^{3}:
\rho g\,\mathrm{w}\,h^{3} = 800\cdot 9{,}81\cdot 1{,}0\cdot 6{,}4\times 10^{-8} = 5{,}02272\times 10^{-4}.
Denominador 12\mu:
12\mu = 12\cdot 0{,}44 = 5{,}28.
Então
Q = -\frac{5{,}02272\times 10^{-4}}{5{,}28} \approx -9{,}52\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
O sinal negativo reafirma que o escoamento é no sentido negativo de y (para baixo). O valor absoluto da vazão é |Q|\approx 9{,}52\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Resposta

-9{,}52\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}

Exercícios relacionados