Questão 1 do questionário em PDF - Um fluido com massa específica
escoa em regime permanente entre duas placas infinitas, verticais e paralelas. A direção do escoamento é vertical e o sentido coincide com o do sentido negativo do eixo y. O escoamento é laminar, plenamente desenvolvido e o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Utilize as equações de Navier-Stokes para obter uma equação para a vazão do escoamento neste canal, e considerando que este canal apresenta uma largura
, distância entre as placas de 4 mm , viscosidade absoluta de
e densidade de 800
, determine o valor desta vazão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) usar as equações de Navier–Stokes para obter uma expressão da vazão do escoamento entre duas placas paralelas; (ii) calcular numericamente essa vazão para os dados fornecidos. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
(densidade do fluido),
(viscosidade absoluta),
(largura do canal, direção perpendicular ao plano de corte),
distância entre as placas ,
o escoamento é permanente, laminar, plenamente desenvolvido, com gradiente de pressão nulo e a direção do escoamento é vertical apontando para o sentido negativo do eixo . A tarefa é então: obter a fórmula de
(vazão) e calcular
numericamente com esses valores.
distância entre as placas
o escoamento é permanente, laminar, plenamente desenvolvido, com gradiente de pressão nulo e a direção do escoamento é vertical apontando para o sentido negativo do eixo
Passo 2
Escolha de coordenadas e simplificações (explicação didática).
Vou tomar:
Vou tomar:
-
eixo vertical (para cima positivo). O escoamento é ao longo do eixo e o vetor velocidade tem componente . -
coordenada normal às placas (transversal), com as placas planas paralelas localizadas em . Assim o espaço entre as placas vai de a .
Porque o escoamento é “plenamente desenvolvido” e as placas são infinitas, a velocidade tem apenas componente na direçãoe depende só de : vou chamar essa componente de . Isso significa que todas as derivadas em e na direção infinda são zero, e .
Relembrando uma ideia física: Corpo de massa por unidade volume (força por volume) devido à gravidade é
. Como o escoamento é vertical e para baixo (sentido negativo de
), a componente de gravidade ao longo do eixo
é
, com
.
Passo 3
Escrevendo a equação de Navier–Stokes reduzida (aula curta sobre a equação).
A forma geral (unidimensional, estacionária, sem aceleração convectiva neste caso) da equação de quantidade de movimento na direção é
A forma geral (unidimensional, estacionária, sem aceleração convectiva neste caso) da equação de quantidade de movimento na direção
Explicando cada termo:
-
é o gradiente de pressão na direção . -
é a força viscosa por unidade de volume (viscosidade vezes curvatura do perfil de velocidade). -
é a força peso por unidade de volume na direção .
Pelo enunciado, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo, então
. Além disso
. Substituindo:
ou seja
Passo 4
Resolver a equação diferencial para
(explicando integração passo a passo).
A equação é uma ODE simples de segunda ordem:
A equação é uma ODE simples de segunda ordem:
Integramos uma vez em relação a
:
onde
é constante de integração. Integramos de novo:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Aplicar condições de contorno (no-slip) e usar simetria.
As placas estão em e a condição de não deslizamento (no-slip) em cada placa impõe
As placas estão em
Como a geometria e as forças são simétricas em torno do plano central
, o perfil de velocidade é simétrico e a derivada em
é zero, o que implica
. Aplicando
com
dá:
Portanto o perfil de velocidade resultante é
Comentário físico: para
(centro) obtemos o valor máximo absoluto (negativo, indicando fluxo para baixo), e em
o valor é zero como imposto.
Passo 6
Calcular a vazão volumétrica
(definição e integração).
A vazão volumétrica total através de uma seção reta do canal é a integral da velocidade sobre a área da seção. Como as placas são longas na direção perpendicular ao plano do corte, a área de seção é largura
vezes a espessura
. Mais precisamente:
A vazão volumétrica total
Substituindo
:
Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 7
Avaliar a integral explicitamente (contas detalhadas).
Calcule cada parte separadamente.
Calcule cada parte separadamente.
- Integral de
em limites simétricos:
- Integral da constante
:
Subtraindo:
Então a vazão fica
Explicação do sinal: o sinal negativo indica que o fluxo está no sentido negativo de
(para baixo), como informado no enunciado. Se quisermos apenas o valor numérico da vazão (módulo), tomamos o valor absoluto.
Passo 8
Substituir os valores numéricos e calcular
(passo a passo com números).
Usamos ,
,
,
e
.
Usamos
Primeiro calcule
:
Agora o numerador
:
Denominador
:
Então
O sinal negativo reafirma que o escoamento é no sentido negativo de
(para baixo). O valor absoluto da vazão é
.