Questão 4: Um raio pode transportar uma corrente de centenas de milhares de Amperes, mas sua duração é da ordem de microssegundos. Podemos modelar a corrente de um raio típico como I(t)=I_{0}(1-t / \tau), para 0 \leq t \leq \tau. Considere um raio transportando uma corrente inicial I_{0}=250.000 A com uma duração de \tau=5,0 \mathrm{~ms}.
(a) 5 pts Modelando o raio como um fio reto infinito, encontre o campo magnético para t=0 \mathrm{~s} a uma distância r=10 \mathrm{~m} do raio.
(b) 10 pts Nessa distância encontra-se um transformador, cujo solenoide secundário possui 300 espiras de 20 cm de raio. Considerando que o campo magnético gerado pelo raio faz um ângulo de 30^{\circ} com o eixo do solenoide, determine o fluxo magnético total dentro do mesmo em função do tempo.
(c) 10 pts Baseado no resultado do item anterior, determine a força eletromotriz induzida no transformador durante os primeiros 5,0 \mathrm{~ms}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tirei todos os dados do enunciado):
  • Corrente modelada por \displaystyle I(t)=I_{0}\bigl(1-\tfrac{t}{\tau}\bigr) válida para 0\le t\le\tau.
  • Valores numéricos:
    • \displaystyle I_{0}=250{,}000\\ \mathrm{A} = 2{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{A}.
    • \displaystyle \tau=5{,}0\\ \mathrm{ms}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
    • Distância do raio: \displaystyle r=10\\ \mathrm{m}.
    • O transformador tem um solenoide secundário com:
      • número de espiras \displaystyle N=300,
      • raio da espira \displaystyle a=0{,}20\\ \mathrm{m} (logo área de uma espira \pi a^{2}),
      • o campo magnético formado pelo raio faz ângulo \displaystyle \theta=30^\circ com o eixo do solenoide.
  • O que pedem:
    (a) o campo magnético para t=0 a r=10\\ \mathrm{m};
    (b) o fluxo magnético total no solenoide em função do tempo;
    (c) a força eletromotriz induzida no transformador durante os primeiros 5{,}0\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Fórmula física que usamos para o campo magnético de um fio reto e muito longo (campo ao redor de um condutor retilíneo):
B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r},
onde
  • \displaystyle \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} é a permeabilidade do vácuo,
  • \displaystyle I é a corrente no fio,
  • \displaystyle r é a distância perpendicular do fio ao ponto onde se calcula B.
Explicação curta: essa expressão vem da Lei de Ampère para um fio longo e dá o módulo do campo magnético circunferencial ao redor do fio (direção dada pela regra da mão direita — dedos enrolam na direção do campo quando o polegar aponta no sentido da corrente).

Passo 3

Calcular (a) — substituindo t=0 em I(t) obtemos \displaystyle I(0)=I_{0}=2{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{A}. Agora aplicar a fórmula:
B(0)=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi r}.
Vamos calcular passo a passo numericamente:
\mu_{0} I_{0}=(4\pi\times10^{-7})\cdot(2{,}5\times10^{5})=0{,}1\pi\quad(\text{unidade: T}\cdot\mathrm{m}).
O denominador é 2\pi r=2\pi\cdot10=20\pi. Portanto
B(0)=\frac{0{,}1\pi}{20\pi}=\frac{0{,}1}{20}=0{,}005\\ \mathrm{T}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Direção: o campo é circunferencial ao redor do fio (direção \hat\varphi), definida pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente.

Passo 4

Para (b) precisamos do fluxo magnético total no solenoide. Conceitos e fórmula:
  • Fluxo magnético através de uma espira (se o campo for aproximadamente uniforme sobre a área da espira) é
\Phi_{1}(t)=\int \vec B\cdot d\vec A \approx B(t)\,A\cos\theta,
onde
  • \displaystyle A=\pi a^{2} é a área da espira,
  • \displaystyle \theta é o ângulo entre \vec B e o eixo (vetor normal) da espira,
  • aqui B(t) é assumido aproximadamente uniforme na região da espira (solução típica quando a espira é pequena comparada à distância).
  • Fluxo magnético total ligado ao conjunto de N espiras (fluxo ligado) é
\Phi_{\mathrm{tot}}(t)=N\Phi_{1}(t)=N\,B(t)\,A\cos\theta.
Agora substituímos B(t)=\dfrac{\mu_{0}I(t)}{2\pi r} e I(t)=I_{0}\bigl(1-\tfrac{t}{\tau}\bigr):
\Phi_{\mathrm{tot}}(t)=N\left(\frac{\mu_{0}I_{0}\bigl(1-\tfrac{t}{\tau}\bigr)}{2\pi r}\right)\left(\pi a^{2}\right)\cos\theta.
Simplificando o \pi:
\Phi_{\mathrm{tot}}(t)=N\frac{\mu_{0} a^{2}}{2r}\,I_{0}\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\cos\theta.
Essa é a expressão analítica pedida.

Passo 5

Agora fazemos as contas numéricas para tornar a resposta concreta. Primeiro valores úteis:
a^{2}=(0{,}20)^{2}=0{,}04\\ \mathrm{m^{2}},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254.
Calcular o prefator numérico C=N\frac{\mu_{0} a^{2}}{2r}I_{0}\cos\theta tal que \Phi_{\mathrm{tot}}(t)=C\bigl(1-\tfrac{t}{\tau}\bigr).
Calcule por partes (valores aproximados):
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\approx1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
\mu_{0}a^{2}\approx1{,}25663706\times10^{-6}\times0{,}04=5{,}026548\times10^{-8}.
\frac{\mu_{0}a^{2}}{2r}=\frac{5{,}026548\times10^{-8}}{2\cdot10}= \frac{5{,}026548\times10^{-8}}{20}=2{,}513274\times10^{-9}.
Multiplicando por N=300 e por I_{0}=2{,}5\times10^{5} e por \cos30^\circ:
C=300\cdot(2{,}513274\times10^{-9})\cdot(2{,}5\times10^{5})\cdot0{,}8660254 \approx0{,}163299.
Logo
\Phi_{\mathrm{tot}}(t)\approx0{,}163299\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\\ \mathrm{Wb}.
Podemos arredondar com razoável precisão como
\Phi_{\mathrm{tot}}(t)\approx0{,}1633\left(1-\frac{t}{5{,}0\times10^{-3}}\right)\\ \mathrm{Wb},\qquad 0\le t\le5{,}0\\ \mathrm{ms}.

Passo 6

Para (c) usamos a Lei de Faraday: a força eletromotriz induzida (fem) é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi_{\mathrm{tot}}(t)}{dt}.
Como \Phi_{\mathrm{tot}}(t)=\Phi_{0}\bigl(1-\tfrac{t}{\tau}\bigr) com \Phi_{0}\approx0{,}163299\\ \mathrm{Wb}, a derivada é constante:
\frac{d\Phi_{\mathrm{tot}}}{dt}=\Phi_{0}\left(-\frac{1}{\tau}\right)=-\frac{\Phi_{0}}{\tau}.
Portanto
\mathcal{E}=-\left(-\frac{\Phi_{0}}{\tau}\right)=\frac{\Phi_{0}}{\tau}.
Substituindo numericamente:
\mathcal{E}=\frac{0{,}163299}{5{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{V}\approx32{,}66\\ \mathrm{V}.
Interpretação do sinal: o sinal positivo aqui indica que, dada a convenção escolhida para \Phi_{\mathrm{tot}}, a fem atua no sentido que tende a opor a diminuição do fluxo (Lenz). Em módulo, o transformador experimenta cerca de 32{,}7\\ \mathrm{V} durante os primeiros 5{,}0\\ \mathrm{ms}. Note que a fem é constante neste intervalo porque o fluxo varia linearmente com t.

Resposta

(a) \displaystyle B(0)=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{T} (direção circunferencial ao redor do fio, pela regra da mão direita).
(b) \displaystyle \Phi_{\mathrm{tot}}(t)=N\frac{\mu_{0}a^{2}}{2r}I_{0}\cos\theta\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\approx0{,}1633\left(1-\frac{t}{5{,}0\times10^{-3}}\right)\\ \mathrm{Wb}.
(c) \displaystyle \mathcal{E}=-\frac{d\Phi_{\mathrm{tot}}}{dt}=\frac{0{,}163299}{5{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{V}\approx32{,}7\\ \mathrm{V}.

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