Questão 4: Um raio pode transportar uma corrente de centenas de milhares de Amperes, mas sua duração é da ordem de microssegundos. Podemos modelar a corrente de um raio típico como
, para
. Considere um raio transportando uma corrente inicial
A com uma duração de
.
(a) 5 pts Modelando o raio como um fio reto infinito, encontre o campo magnético para
a uma distância
do raio.
(b) 10 pts Nessa distância encontra-se um transformador, cujo solenoide secundário possui 300 espiras de 20 cm de raio. Considerando que o campo magnético gerado pelo raio faz um ângulo de
com o eixo do solenoide, determine o fluxo magnético total dentro do mesmo em função do tempo.
(c) 10 pts Baseado no resultado do item anterior, determine a força eletromotriz induzida no transformador durante os primeiros
.
(a) 5 pts Modelando o raio como um fio reto infinito, encontre o campo magnético para
(b) 10 pts Nessa distância encontra-se um transformador, cujo solenoide secundário possui 300 espiras de 20 cm de raio. Considerando que o campo magnético gerado pelo raio faz um ângulo de
(c) 10 pts Baseado no resultado do item anterior, determine a força eletromotriz induzida no transformador durante os primeiros
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tirei todos os dados do enunciado):
- Corrente modelada por
válida para . - Valores numéricos:
-
. -
. - Distância do raio:
. - O transformador tem um solenoide secundário com:
- número de espiras
, - raio da espira
(logo área de uma espira ), - o campo magnético formado pelo raio faz ângulo
com o eixo do solenoide.
- número de espiras
-
- O que pedem:
(a) o campo magnético paraa ;
(b) o fluxo magnético total no solenoide em função do tempo;
(c) a força eletromotriz induzida no transformador durante os primeiros.
Passo 2
Fórmula física que usamos para o campo magnético de um fio reto e muito longo (campo ao redor de um condutor retilíneo):
onde
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente no fio, -
é a distância perpendicular do fio ao ponto onde se calcula .
Explicação curta: essa expressão vem da Lei de Ampère para um fio longo e dá o módulo do campo magnético circunferencial ao redor do fio (direção dada pela regra da mão direita — dedos enrolam na direção do campo quando o polegar aponta no sentido da corrente).
Passo 3
Calcular (a) — substituindo
em
obtemos
. Agora aplicar a fórmula:
Vamos calcular passo a passo numericamente:
O denominador é
. Portanto
Direção: o campo é circunferencial ao redor do fio (direção
), definida pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente.
Passo 4
Para (b) precisamos do fluxo magnético total no solenoide. Conceitos e fórmula:
- Fluxo magnético através de uma espira (se o campo for aproximadamente uniforme sobre a área da espira) é
onde
-
é a área da espira, -
é o ângulo entre e o eixo (vetor normal) da espira, - aqui
é assumido aproximadamente uniforme na região da espira (solução típica quando a espira é pequena comparada à distância). - Fluxo magnético total ligado ao conjunto de
espiras (fluxo ligado) é
Agora substituímos
e
:
Simplificando o
:
Essa é a expressão analítica pedida.
Passo 5
Agora fazemos as contas numéricas para tornar a resposta concreta. Primeiro valores úteis:
Calcular o prefator numérico
tal que
.
Calcule por partes (valores aproximados):
Multiplicando por
e por
e por
:
Logo
Podemos arredondar com razoável precisão como
Passo 6
Para (c) usamos a Lei de Faraday: a força eletromotriz induzida (fem) é
Como
com
, a derivada é constante:
Portanto
Substituindo numericamente:
Interpretação do sinal: o sinal positivo aqui indica que, dada a convenção escolhida para
, a fem atua no sentido que tende a opor a diminuição do fluxo (Lenz). Em módulo, o transformador experimenta cerca de
durante os primeiros
. Note que a fem é constante neste intervalo porque o fluxo varia linearmente com
.
Resposta
(a)
(direção circunferencial ao redor do fio, pela regra da mão direita).
(b)
(c)
(b)
(c)