Questão 3: Um solenóide ideal muito longo possui n espiras por unidade de comprimento, raio R, e transporta uma corrente Is. Ao longo do eixo central desse solenóide, passa um fio condutor retilíneo, longo e isolado, que transporta uma corrente I_{F} no mesmo sentido do eixo do solenóide (eixo +z ).
(a) 5 pts Descreva a direção e o sentido das linhas de campo magnético geradas apenas pelo solenóide e apenas pelo fio condutor central. Esses dois campos são paralelos, antiparalelos ou perpendiculares entre si em um ponto P localizado dentro do solenóide, a uma distância r do eixo? Justifique sua resposta.
(b) 5 pts Determine o vetor campo magnético, devido ao fio condutor retilíneo, transportando uma corrente I_{F}, em um ponto P situado a uma distância r do eixo central (onde r é menor que o raio R do solenóide). Você utilizou a Lei de Ampère ou a Lei de Biot-Savart?
(c) 5 pts Determine o vetor campo magnético, devido ao solenóide, transportando uma corrente I_{S}, em um ponto P situado a uma distância r do eixo central (onde r é menor que o raio R do solenóide). Você utilizou a Lei de Ampère ou a Lei de Biot-Savart?
(d) 5 pts Determine o módulo do vetor campo magnético resultante \vec{B}_{\text {total }} em um ponto P situado a uma distância r do eixo central (onde r é menor que o raio R do solenóide).
(e) 5 pts O solenóide exerce alguma força magnética líquida sobre o fio central? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as questões (a)–(e):
Um solenóide ideal muito longo com n espiras por unidade de comprimento, raio R e corrente nas espiras \,I_{S}.
Um fio condutor retilíneo, longo e isolado, passa pelo eixo do solenóide e transporta corrente \,I_{F} no sentido do eixo do solenóide (sentido +z).
Ponto P está dentro do solenóide, a uma distância r do eixo, com 0<r<R.
Perguntas:
(a) Descrever direção e sentido das linhas de campo magnético geradas apenas pelo solenóide e apenas pelo fio; dizer se esses campos são paralelos, antiparalelos ou perpendiculares em P e justificar.
(b) Determinar o vetor campo magnético devido ao fio retilíneo em P (com r<R). Informar se foi usada a Lei de Ampère ou Biot–Savart.
(c) Determinar o vetor campo magnético devido ao solenóide em P (com r<R). Informar se foi usada a Lei de Ampère ou Biot–Savart.
(d) Determinar o módulo do campo magnético resultante \vec{B}_{\text{total}} em P.
(e) O solenóide exerce força magnética líquida sobre o fio central? Justifique.
Passo 2
Parte (a) — direções e sentidos dos campos (apenas físico-intuitivo, sem cálculo ainda).
Campo do solenóide (apenas do solenóide): dentro de um solenóide muito longo o campo magnético é uniforme e aponta ao longo do eixo do solenóide. Usando a regra da mão direita para uma espira — enrolando os dedos no sentido da corrente nas espiras, o polegar aponta para o sentido do campo dentro do solenóide — concluímos que o campo do solenóide em P é paralelo ao eixo. Assumindo que a corrente das espiras gera campo no sentido +z, então o vetor campo do solenóide em P é \propto\hat{z}.
Campo do fio retilíneo central (apenas do fio): o campo magnético de um fio longo e retilíneo é formado por linhas fechadas concêntricas ao redor do fio (círculos em planos perpendiculares ao fio). Pela regra da mão direita para fio retilíneo (polegar na direção da corrente, dedos mostram a direção de \vec{B}), para corrente no sentido +z o campo circular tem sentido azimutal. Em coordenadas cilíndricas isso é a direção \hat{\varphi}.
Em P (dentro do solenóide, a distância r do eixo) temos: o campo do solenóide aponta ao longo de \hat{z} e o campo do fio aponta ao longo de \hat{\varphi}. Em coordenadas cilíndricas \hat{z} e \hat{\varphi} são vetores ortogonais, portanto os campos são perpendiculares em P.
Passo 3
Parte (b) — campo magnético devido ao fio retilíneo em P (com 0<r<R) e método usado.
Vou usar a Lei de Ampère porque a geometria tem simetria circular: campo tangencial constante ao longo de um círculo centrado no fio. A Lei de Ampère (no vácuo) diz:
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície limitada pela curva \mathcal{C}.
Escolho a curva \mathcal{C} como um círculo de raio r centrado no fio (o ponto P está sobre esse círculo). Por simetria o módulo de \vec{B} é constante ao longo desse círculo e \vec{B} é sempre tangente à curva, então
B_{\text{fio}}(r)\cdot (2\pi r)=\mu_0 I_{F}.
Resolvendo:
B_{\text{fio}}(r)=\dfrac{\mu_0 I_{F}}{2\pi r}.
Sentido: usando a regra da mão direita para corrente em +z, o campo anda no sentido crescente de \varphi (direção \hat{\varphi}). Portanto o campo vetorial é
\mu_0 tem unidade \mathrm{N/A^2} (ou \mathrm{T\cdot m/A}); I_F em ampères; r em metros; a expressão dá tesla.
Usei Ampère porque a simetria torna a integral trivial; Biot–Savart daria o mesmo resultado, mas envolve integrar a contribuição de cada elemento de corrente.
Passo 4
Parte (c) — campo magnético devido ao solenóide em P (com 0<r<R) e método usado.
Para um solenóide ideal muito longo, por simetria o campo dentro é praticamente uniforme e paralelo ao eixo; fora do solenóide, para o ideal infinito, o campo é nulo. A maneira mais direta é usar a Lei de Ampère com um contorno retangular que atravessa a região interna e externa do solenóide.
Considere um retângulo Amperiano de comprimento l paralelo ao eixo z, com um lado interno dentro do solenóide e o lado externo fora onde o campo é (aproximadamente) zero. Pelo mesmo raciocínio:
A corrente total atravessando a superfície do laço é a corrente das espiras contidas no comprimento l. Com n espiras por unidade de comprimento, o número de espiras no trecho de comprimento l é n l, cada espira transporta corrente I_{S}, então
I_{\text{enc}}=n l I_{S}.
Substituindo:
B_{\text{sol}}\,l=\mu_0 (n l I_{S}) \quad\Rightarrow\quad B_{\text{sol}}=\mu_0 n I_{S}.
Direção: determinada pela regra da mão direita aplicada às espiras; tomando o sentido que produz campo no +z, temos
\boxed{\vec{B}_{\text{sol}}(r)=\mu_0 n I_{S}\,\hat{z}\qquad\text{(para \(0<r<R\), campo praticamente independente de \(r\) no solenóide ideal).}}
Nota didática: Usei Ampère porque a simetria do solenóide (muito longo) torna o cálculo simples. O Biot–Savart poderia ser usado, mas exige integrar a contribuição de todas as espiras e é mais trabalhoso; o resultado coincide.
Passo 5
Parte (d) — campo magnético total e seu módulo em P.
Os dois campos que já encontramos em P são vetoriais e perpendiculares:
\vec{B}_{\text{sol}}=\mu_0 n I_{S}\,\hat{z},\qquad \vec{B}_{\text{fio}}=\dfrac{\mu_0 I_{F}}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
O campo total é a soma vetorial:
\vec{B}_{\text{total}}=\vec{B}_{\text{sol}}+\vec{B}_{\text{fio}} =\mu_0 n I_{S}\,\hat{z}+\dfrac{\mu_0 I_{F}}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
Como \hat{z}\perp\hat{\varphi}, o módulo do vetor resultante é a raiz quadrada da soma dos quadrados:
\boxed{\bigl|\vec{B}_{\text{total}}(r)\bigr| =\sqrt{\left(\mu_0 n I_{S}\right)^{2} +\left(\dfrac{\mu_0 I_{F}}{2\pi r}\right)^{2}}\,.}
Passo 6
Parte (e) — força magnética líquida do solenóide sobre o fio central.
A força magnética sobre um elemento de fio com corrente \,I_{F} e comprimento \,d\vec{\ell} é dada por d\vec{F}=I_{F}\,d\vec{\ell}\times\vec{B}. Para o fio retilíneo o vetor diferencial de comprimento aponta ao longo do eixo, ou seja d\vec{\ell}\parallel\hat{z}. O campo magnético produzido pelo solenóide é também paralelo ao eixo: \vec{B}_{\text{sol}}=\mu_0 n I_{S}\,\hat{z}. O produto vetorial entre vetores paralelos é zero:
d\vec{F}=I_{F}\,d\vec{\ell}\times(\mu_0 n I_{S}\,\hat{z})=0.
Portanto o solenóide não exerce força magnética líquida sobre o fio central; a força por unidade de comprimento é zero. Conclusão:
\boxed{\text{Não. A força magnética líquida exercida pelo solenóide sobre o fio é zero, pois } \hat{z}\times\hat{z}=0.}ãçéíóé
Resposta
(a) O campo do solenóide em P é paralelo ao eixo: \vec{B}_{\text{sol}}\propto\hat{z}. O campo do fio em P é azimutal: \vec{B}_{\text{fio}}\propto\hat{\varphi}. Eles são perpendiculares em P.
(b) \displaystyle \vec{B}_{\text{fio}}(r)=\dfrac{\mu_0 I_{F}}{2\pi r}\,\hat{\varphi}. (Usei a Lei de Ampère.)
(c) \displaystyle \vec{B}_{\text{sol}}(r)=\mu_0 n I_{S}\,\hat{z} (para 0<r<R). (Usei a Lei de Ampère.)
(d) \displaystyle \bigl|\vec{B}_{\text{total}}(r)\bigr|=\sqrt{\left(\mu_0 n I_{S}\right)^{2}+\left(\dfrac{\mu_0 I_{F}}{2\pi r}\right)^{2}}.
(e) Não. A força magnética líquida do solenóide sobre o fio é zero, pois \vec{F}=I_{F}\,\ell\times\vec{B}_{\text{sol}} e \ell\parallel\hat{z}, \vec{B}_{\text{sol}}\parallel\hat{z} implicam \ell\times\vec{B}_{\text{sol}}=0.