Nos Exercícios de 27 a 30, expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
2,045 4545 …

Passo 1

O enunciado pede que se expresse a dízima periódica decimal 2,0454545\ldots como uma fração ordinária.
Informações dadas:
  • O número é 2,0454545\ldots.
  • A parte decimal tem um trecho inicial não-periódico \,0\ (um dígito) seguido da repetição periódica do bloco \,45.
  • Ou seja, a forma é: parte inteira 2, parte não-periódica após a vírgula de comprimento k=1 ( 0) e período de comprimento p=2 ( 45).

Passo 2

Vamos usar a técnica algébrica clássica: definir a incógnita igual à dízima e multiplicar por potências de 10 para alinhar os blocos repetidos, de modo que a subtração elimine a parte periódica.
Defina
x = 2,0454545\ldots
Aqui k=1 (número de dígitos não-periódicos) e p=2 (comprimento do período).

Passo 3

Multiplique x por 10^{k}=10 para deslocar a vírgula passando a parte não-periódica:
10x = 20,454545\ldots
Multiplique x por 10^{k+p}=10^{1+2}=1000 para deslocar a vírgula de modo que o início do período fique na mesma posição decimal:
1000x = 2045,454545\ldots

Passo 4

Agora subtraímos as duas equações para que a parte periódica infinita se cancele:
1000x - 10x = 2045,454545\ldots - 20,454545\ldots
No lado direito a parte decimal periódica \,0,454545\ldots cancela, sobrando apenas a diferença das partes inteiras:
990x = 2025

Passo 5

Isolando x obtemos a fração inicial:
x = \frac{2025}{990}

Passo 6

Agora simplificamos a fração \dfrac{2025}{990}. Podemos dividir numerador e denominador por 5 primeiro:
\frac{2025}{990}=\frac{405}{198}.
Em seguida aplicamos o algoritmo de Euclides para o máximo divisor comum entre 405 e 198:
405 = 198\cdot2 + 9,\qquad 198 = 9\cdot22 + 0,
portanto \gcd(405,198)=9. Dividindo ambos por 9:
\frac{405}{198}=\frac{45}{22}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional): \dfrac{45}{22}=2+\dfrac{1}{22} e sabe-se que \dfrac{1}{22}=0,0454545\ldots, logo \dfrac{45}{22}=2,0454545\ldots. Resultado consistente.

Resposta

\dfrac{45}{22}

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