Nos Exercícios de 27 a 30, expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
2,045 4545 …
2,045 4545 …
Passo 1
O enunciado pede que se expresse a dízima periódica decimal
como uma fração ordinária.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número é
. - A parte decimal tem um trecho inicial não-periódico
\ (um dígito) seguido da repetição periódica do bloco . - Ou seja, a forma é: parte inteira
, parte não-periódica após a vírgula de comprimento ( ) e período de comprimento ( ).
Passo 2
Vamos usar a técnica algébrica clássica: definir a incógnita igual à dízima e multiplicar por potências de
para alinhar os blocos repetidos, de modo que a subtração elimine a parte periódica.
Defina
Defina
Aqui
(número de dígitos não-periódicos) e
(comprimento do período).
Passo 3
Multiplique
por
para deslocar a vírgula passando a parte não-periódica:
Multiplique
por
para deslocar a vírgula de modo que o início do período fique na mesma posição decimal:
Passo 4
Agora subtraímos as duas equações para que a parte periódica infinita se cancele:
No lado direito a parte decimal periódica
cancela, sobrando apenas a diferença das partes inteiras:
Passo 5
Isolando
obtemos a fração inicial:
Passo 6
Agora simplificamos a fração
. Podemos dividir numerador e denominador por
primeiro:
Em seguida aplicamos o algoritmo de Euclides para o máximo divisor comum entre
e
:
portanto
. Dividindo ambos por
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional):
e sabe-se que
, logo
. Resultado consistente.