Questão 1

Um recipiente com 1,5 \mathrm{~L}\left(1 \mathrm{~L}=1 \mathrm{dm}^{3}\right), equipado com uma válvula, contém gás butano ( \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{10} ) a 300 K e à pressão atmosérica ( 101,3 \mathrm{kPa} ). A massa molar do butano é 58,1 \mathrm{g} / \mathrm{mol}. O recipiente então é aquecido até a temperatura de 380 K , mantendo-se a válvula aberta. Em seguida, a vâlvula é fechada e o recipiente é resfriado até sua temperatura inicial de 300 K .
(1,0 ponto) a. Qual é a presssio final do butano no recipiente?
(1,0 ponto) b. Qual é a massa final, em gramas, de butano no recipiente?
( 1,0 ponto) c. Represente este processo em um diagrama P (pressio) \times \rho (densidade)

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (a) A pressão final do butano no recipiente depois de o processo completo.
  2. (b) A massa final, em gramas, de butano que ficou no recipiente.
  3. (c) Representar o processo num diagrama P (pressão) versus \rho (densidade).
Dados fornecidos (vou listar tudo que tem valor numérico):
\begin{aligned} &\text{Volume do recipiente: }V=1{,}5\\ \mathrm{L}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3,\\\ &\text{Temperatura inicial: }T_1=300\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Temperatura de aquecimento (fechamento): }T_2=380\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão atmosférica: }P_{\text{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}=101300\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Massa molar do butano: }M=58{,}1\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0581\\ \mathrm{kg/mol}. \end{aligned}ãé
Observação sobre o procedimento (importante para resolver): o aquecimento é feito com a válvula aberta (portanto a pressão dentro do recipiente fica igual à pressão atmosférica durante o aquecimento). Em seguida a válvula é fechada em T_2=380\\ \mathrm{K} (ficando aprisionada uma certa quantidade de gás a P_{\text{atm}} e T_2), e então o recipiente é resfriado até T_1=300\\ \mathrm{K} com a válvula fechada (ou seja, volume e número de mols do gás no interior ficam fixos durante o resfriamento).

Passo 2

Vou apresentar a ferramenta física que usamos: a lei dos gases ideais. Ela é muito útil e suficiente aqui.
A lei dos gases ideais:
PV=nRT.
Explicando cada símbolo:
  • P é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}, no SI).
  • V é o volume (em \mathrm{m}^3).
  • n é a quantidade de substância (em mol).
  • R é a constante universal dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Também é útil a relação entre massa m, massa molar M e número de mols n:
n=\frac{m}{M}.
Portanto, podemos escrever
P=\frac{m}{M}\frac{RT}{V}\quad\text{ou}\quad P=\rho\frac{R}{M}T,
onde \rho=\dfrac{m}{V} é a densidade (em \mathrm{kg\,m^{-3}} se m em kg e V em \mathrm{m^3}). Essas fórmulas mostram como P, \rho e T se relacionam.

Passo 3

Análise qualitativa do processo (para entender o que muda e por quê):
  • Durante o aquecimento com a válvula aberta: a pressão dentro permanece igual a P_{\text{atm}}. Como P e V são fixos, da lei dos gases n deve diminuir quando T aumenta (mols saem para manter P constante). Assim a densidade \rho dentro do recipiente diminui.
  • Ao fechar a válvula em T_2=380\\ \mathrm{K} fica preso no recipiente um certo número de mols n_{\text{fechado}} que corresponde a P_{\text{atm}},V,T_2.
  • Ao resfriar com a válvula fechada: n e V são constantes. Pela lei dos gases, P varia proporcionalmente a T (ou seja, P\propto T quando n e V são fixos). Portanto a pressão final ao retornar a T_1 é menor que P_{\text{atm}}.
Essas observações determinam a estratégia de cálculo: achar a pressão final usando a proporcionalidade P\propto T (já que, após fechar, n e V são constantes) e achar a massa final usando a lei dos gases no estado final.

Passo 4

Cálculo da pressão final (parte a).
Quando a válvula é fechada em T_2=380\\ \mathrm{K} a pressão interna é P_{\text{atm}}. Depois, ao resfriar até T_1=300\\ \mathrm{K} com n e V constantes, vale a proporção
\frac{P_{\text{final}}}{P_{\text{fechamento}}}=\frac{T_1}{T_2}.
Como P_{\text{fechamento}}=P_{\text{atm}}, temos
P_{\text{final}}=P_{\text{atm}}\frac{T_1}{T_2}.
Agora substituímos números (atenção às unidades: P_{\text{atm}}=101300\\ \mathrm{Pa}, mas podemos trabalhar em kPa também; aqui mantenho kPa para resultado em kPa):
P_{\text{final}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}\times\frac{300\\ \mathrm{K}}{380\\ \mathrm{K}}.

Passo 5

Cálculo numérico da pressão final:
P_{\text{final}}=101{,}3\times\frac{300}{380}\\ \mathrm{kPa}=101{,}3\times0{,}789473\\ \mathrm{kPa}\approx79{,}97\\ \mathrm{kPa}.
Portanto a pressão final do butano no recipiente é aproximadamente 79{,}97\\ \mathrm{kPa} (ou, se preferir, 80{,}0\\ \mathrm{kPa} com arredondamento).

Passo 6

Cálculo da massa final (parte b).
Usamos a lei dos gases no estado final (após o resfriamento), onde conhecemos P_{\text{final}}, V e T_1. Reescrevendo a lei dos gases para n:
n=\frac{P_{\text{final}}\,V}{R\,T_1}.
E então a massa
m=nM.
Agora faço as contas com unidades SI (pressão em Pa, volume em m^3, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, massa molar M=58{,}1\\ \mathrm{g/mol}).
Converto a pressão final para pascal:
P_{\text{final}}=79{,}97\\ \mathrm{kPa}=79{,}97\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=79970\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}).
Volume:
V=1{,}5\\ \mathrm{L}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
Agora:
n=\frac{79970\\ \mathrm{Pa}\times1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3}{8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\times300\\ \mathrm{K}}.

Passo 7

Avaliação numérica de n e m.
Calculo do numerador:
79970\times1{,}5\times10^{-3}=119{,}955\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}=119{,}955\\ \mathrm{J}.
Denominador:
8{,}314\times300=2494{,}2.
Logo
n=\frac{119{,}955}{2494{,}2}\\ \mathrm{mol}\approx0{,}04810\\ \mathrm{mol}.
Agora a massa (usando M=58{,}1\\ \mathrm{g/mol}):
m=nM\approx0{,}04810\\ \mathrm{mol}\times58{,}1\\ \mathrm{g/mol}\approx2{,}80\\ \mathrm{g}.
Portanto a massa final de butano no recipiente é aproximadamente 2{,}80\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Cálculo das densidades e explicação para o diagrama P\times\rho (parte c).
Vamos calcular as densidades relevantes em unidades fáceis (g/L), já que V foi dado em litros.
Densidade final (após resfriamento):
\rho_{\text{final}}=\frac{m}{V}=\frac{2{,}80\\ \mathrm{g}}{1{,}5\\ \mathrm{L}}\approx1{,}86\\ \mathrm{g/L}.
Podemos também calcular a densidade inicial (estado inicial: P_{\text{atm}},T_1). Antes do aquecimento, com a válvula aberta, o recipiente continha massa
m_{\text{inicial}}=\frac{P_{\text{atm}}V}{RT_1}M
ou, de forma mais simples por proporcionalidade (já que com pressão fixa n\propto1/T), encontra-se
m_{\text{inicial}}\approx3{,}54\\ \mathrm{g},
portanto
\rho_{\text{inicial}}=\frac{3{,}54\\ \mathrm{g}}{1{,}5\\ \mathrm{L}}\approx2{,}36\\ \mathrm{g/L}.
Agora a descrição do diagrama P versus \rho:
  • Eixo horizontal: densidade \rho (em \mathrm{g/L} ou \mathrm{kg\,m^{-3}}).
  • Eixo vertical: pressão P (em \mathrm{kPa} ou \mathrm{Pa}).
  • Ponto inicial: (\rho_{\text{inicial}},P_{\text{inicial}})=(2{,}36\\ \mathrm{g/L},\,101{,}3\\ \mathrm{kPa}).
  • Aquecimento com válvula aberta: P permanece constante em 101{,}3\\ \mathrm{kPa} enquanto \rho diminui (gás sai). No diagrama é um segmento horizontal da abscissa \rho=2{,}36\\ \mathrm{g/L} até \rho=1{,}86\\ \mathrm{g/L} à pressão 101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • Fechamento da válvula em T_2: ponto no final do segmento horizontal é (1{,}86\\ \mathrm{g/L},\,101{,}3\\ \mathrm{kPa}).
  • Resfriamento com válvula fechada: a massa (logo \rho) permanece constante em 1{,}86\\ \mathrm{g/L} e a pressão cai de 101{,}3\\ \mathrm{kPa} para 79{,}97\\ \mathrm{kPa}. No diagrama é um segmento vertical descendente desde (1{,}86\\ \mathrm{g/L},\,101{,}3\\ \mathrm{kPa}) até (1{,}86\\ \mathrm{g/L},\,79{,}97\\ \mathrm{kPa}).
Resumo gráfico: um traço horizontal (constante P=101{,}3\\ \mathrm{kPa}) à esquerda, seguido por um traço vertical para baixo (constante \rho=1{,}86\\ \mathrm{g/L}). Marque os pontos e coloque setas no sentido do processo (da esquerda para a posição de menor \rho no horizontal, e então para baixo no vertical).

Resposta

(a) P_{\text{final}}=79{,}97\\ \mathrm{kPa}.
(b) m_{\text{final}}=2{,}80\\ \mathrm{g}.
(c) Diagrama P\times\rho: segmento horizontal em P=101{,}3\\ \mathrm{kPa} de \rho=2{,}36\\ \mathrm{g/L} até \rho=1{,}86\\ \mathrm{g/L}, seguido de segmento vertical descendente em \rho=1{,}86\\ \mathrm{g/L} de P=101{,}3\\ \mathrm{kPa} até P=79{,}97\\ \mathrm{kPa}.

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