Questão 3. O consumo mensal de calorias (kcal/g) de certa espécie de esquilos é bem modelado por uma distribuição Normal. Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral foi de 0,41 e com desvio padrão 0,16 . Construa um intervalo de 99 \% de confiança para o consumo médio mensal de calorias dessa espécie de esquilos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Tamanho da amostra: n=18.
  • Média amostral: \bar{x}=0,41.
  • Desvio padrão amostral: s=0,16.
  • Nível de confiança pedido: 99\%.
O que é pedido: construir um intervalo de confiança de 99\% para o consumo médio mensal de calorias (ou seja, para a média populacional \mu).

Passo 2

Entendendo qual procedimento usar (explicação didática e sem pular etapas).
Quando queremos um intervalo de confiança para a média populacional \mu e NÃO conhecemos o desvio padrão populacional \sigma (aqui só temos s), usamos a distribuição t de Student em vez da normal. A razão é que substituir \sigma por s introduz incerteza extra; a distribuição t leva isso em conta por ter caudas mais “pesadas”. A forma do intervalo será uma média amostral mais ou menos uma margem de erro que depende de um quantil da t.
O grau de liberdade (df) para a t é \;n-1\;. Aqui \text{df}=18-1=17.

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo.
A fórmula do intervalo de confiança para \mu, quando \sigma é desconhecido, é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=0,41).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente à cauda superior com área \alpha/2. Para um intervalo de 99\%, \alpha=0,01, logo queremos t_{0,995,\,17}.
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=0,16).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=18).
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma oscilar em torno da média populacional).

Passo 4

Encontrando o valor crítico t_{0,995,\,17}.
Para \alpha=0,01 e nível de confiança 99\% temos 1-\alpha/2=0,995. Com \text{df}=17 a partir da tabela da t (ou calculadora estatística) obtém-se aproximadamente
t_{0,995,\,17}\approx 2,898.
(Isto vem de uma tabela de valores críticos da distribuição t.)

Passo 5

Calculando o erro padrão e a margem de erro, passo a passo.
Primeiro o erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4,2426.
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,16}{4,2426}\approx 0,03770.
Agora a margem de erro multiplicando pelo t crítico:
\text{margem} = t_{0,995,17}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,898\cdot 0,03770\approx 0,1093.
Arredondando razoavelmente para três casas decimais na apresentação final, a margem é aproximadamente 0,109.

Passo 6

Calculando os limites do intervalo e interpretando.
Limite inferior:
\bar{x}-\text{margem}\approx 0,41-0,1093\approx 0,3007.
Limite superior:
\bar{x}+\text{margem}\approx 0,41+0,1093\approx 0,5193.
Interpretando: com 99\% de confiança, a média de consumo mensal de calorias da população está entre aproximadamente 0,301 e 0,519 (kcal/g). Em palavras: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos muitos intervalos do mesmo tipo, cerca de 99\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de \mu.

Resposta

\displaystyle [\,0,301;\;0,519\,]

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