Questão 3. O consumo mensal de calorias (kcal/g) de certa espécie de esquilos é bem modelado por uma distribuição Normal. Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral foi de 0,41 e com desvio padrão 0,16 . Construa um intervalo de
de confiança para o consumo médio mensal de calorias dessa espécie de esquilos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio padrão amostral:
. - Nível de confiança pedido:
.
O que é pedido: construir um intervalo de confiança de
para o consumo médio mensal de calorias (ou seja, para a média populacional
).
Passo 2
Entendendo qual procedimento usar (explicação didática e sem pular etapas).
Quando queremos um intervalo de confiança para a média populacional
e NÃO conhecemos o desvio padrão populacional
(aqui só temos
), usamos a distribuição
de Student em vez da normal. A razão é que substituir
por
introduz incerteza extra; a distribuição
leva isso em conta por ter caudas mais “pesadas”. A forma do intervalo será uma média amostral mais ou menos uma margem de erro que depende de um quantil da
.
O grau de liberdade (df) para a
é
. Aqui
.
Passo 3
Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo.
A fórmula do intervalo de confiança para
, quando
é desconhecido, é
Onde:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade, correspondente à cauda superior com área . Para um intervalo de , , logo queremos . -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma oscilar em torno da média populacional).
Passo 4
Encontrando o valor crítico
.
Para
e nível de confiança
temos
. Com
a partir da tabela da
(ou calculadora estatística) obtém-se aproximadamente
(Isto vem de uma tabela de valores críticos da distribuição
.)
Passo 5
Calculando o erro padrão e a margem de erro, passo a passo.
Primeiro o erro padrão da média:
Agora a margem de erro multiplicando pelo
crítico:
Arredondando razoavelmente para três casas decimais na apresentação final, a margem é aproximadamente
.
Passo 6
Calculando os limites do intervalo e interpretando.
Limite inferior:
Limite superior:
Interpretando: com
de confiança, a média de consumo mensal de calorias da população está entre aproximadamente
e
(kcal/g). Em palavras: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos muitos intervalos do mesmo tipo, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de
.