Questão 2. Estudos anteriores levam a supor que, quando uma criança de 2 meses começa a tomar exclusivamente leite do tipo A, o seu peso sofre um aumento que no primeiro mês é suposto seguir uma distribuição Normal. Foram escolhidas, ao acaso 20 crianças de 2 meses a quem se deu o leite referido e o seu peso aumentou em média 475 gramas, com de variância 9000 gramas { }^{2}. Construa um intervalo de 90 \% de confiança para o aumento médio de peso das crianças.

Passo 1

O enunciado fornece estes dados (peguei todos do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Média amostral do aumento de peso: \bar{x}=475 (gramas).
  • Variância amostral: s^{2}=9000 (gramas ^2).
    O que é pedido:
  • Construir um intervalo de confiança de 90\% para o aumento médio de peso \mu das crianças.

Passo 2

Por que usamos um intervalo de confiança e qual é a ideia básica?
Um intervalo de confiança para a média procura um intervalo numérico que, com certo grau de confiança (aqui 90\%), provavelmente contenha o verdadeiro valor da média populacional \mu. A forma do intervalo depende de duas coisas: se a população é aproximadamente normal (o enunciado diz que sim no primeiro mês) e se a variância populacional é conhecida. Aqui a variância populacional não foi dada — foi informada a variância amostral s^{2}. Nessa situação, a distribuição apropriada para construir o intervalo é a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (duas caudas) quando a população é normal e a variância é desconhecida:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=475 g).
  • s é o desvio-padrão amostral, isto é s=\sqrt{s^{2}}.
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=20).
  • \alpha é o nível de significância; para intervalo de 90\% temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05.
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área à direita é \alpha/2. Para nós, é t_{0{,}95,\,19}.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral s a partir da variância amostral:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{9000}\approx 94{,}8683\\ \text{g}.
(outra forma prática: s=\sqrt{9000}.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (standard error, SE):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{9000}{20}}=\sqrt{450}\approx 21{,}2132\\ \text{g}.
Expliquei: a SE mede o quanto a média amostral \bar{x} varia entre amostras de tamanho n.

Passo 6

Encontrar o valor crítico t_{0{,}95,\,19}. Usando uma tabela t ou software obtém-se
t_{0{,}95,\,19}\approx 1{,}729.
Isto significa que a área central entre -1{,}729 e +1{,}729 na t-de-Student com 19 graus de liberdade é 90\%.

Passo 7

Calcular a margem de erro (metade da largura do intervalo):
\text{margem}=t_{0{,}95,\,19}\times\text{SE}\approx 1{,}729\times 21{,}2132\approx 36{,}68\\ \text{g}.
Expliquei: multiplicamos o quantil t pelo erro padrão para obter quanto devemos somar/subtrair à média amostral.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança de 90\%:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=475-36{,}68=438{,}32\\ \text{g},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=475+36{,}68=511{,}68\\ \text{g}.
Interpretação curta e motivadora: isso quer dizer que, com 90\% de confiança, o verdadeiro aumento médio de peso \mu das crianças que tomam o leite A no primeiro mês está entre 438{,}32 g e 511{,}68 g. Se repetíssemos o experimento muitas vezes, cerca de 90\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro \mu.

Resposta

\displaystyle (438{,}32\\ \text{g},\;511{,}68\\ \text{g})

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