Questão 2. Estudos anteriores levam a supor que, quando uma criança de 2 meses começa a tomar exclusivamente leite do tipo A, o seu peso sofre um aumento que no primeiro mês é suposto seguir uma distribuição Normal. Foram escolhidas, ao acaso 20 crianças de 2 meses a quem se deu o leite referido e o seu peso aumentou em média 475 gramas, com de variância 9000 gramas
. Construa um intervalo de
de confiança para o aumento médio de peso das crianças.
Passo 1
O enunciado fornece estes dados (peguei todos do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral do aumento de peso:
(gramas). - Variância amostral:
(gramas ).
O que é pedido: - Construir um intervalo de confiança de
para o aumento médio de peso das crianças.
Passo 2
Por que usamos um intervalo de confiança e qual é a ideia básica?
Um intervalo de confiança para a média procura um intervalo numérico que, com certo grau de confiança (aqui ), provavelmente contenha o verdadeiro valor da média populacional
. A forma do intervalo depende de duas coisas: se a população é aproximadamente normal (o enunciado diz que sim no primeiro mês) e se a variância populacional é conhecida. Aqui a variância populacional não foi dada — foi informada a variância amostral
. Nessa situação, a distribuição apropriada para construir o intervalo é a distribuição
de Student com
graus de liberdade.
Um intervalo de confiança para a média procura um intervalo numérico que, com certo grau de confiança (aqui
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança (duas caudas) quando a população é normal e a variância é desconhecida:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui g). -
é o desvio-padrão amostral, isto é . -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o nível de significância; para intervalo de temos e . -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade tal que a área à direita é . Para nós, é .
Passo 4
Calcular o desvio-padrão amostral
a partir da variância amostral:
(outra forma prática:
.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da média (standard error, SE):
Expliquei: a SE mede o quanto a média amostral
varia entre amostras de tamanho
.
Passo 6
Encontrar o valor crítico
. Usando uma tabela
ou software obtém-se
Isto significa que a área central entre
e
na
-de-Student com 19 graus de liberdade é
.
Passo 7
Calcular a margem de erro (metade da largura do intervalo):
Expliquei: multiplicamos o quantil
pelo erro padrão para obter quanto devemos somar/subtrair à média amostral.
Passo 8
Construir o intervalo de confiança de
:
Interpretação curta e motivadora: isso quer dizer que, com
de confiança, o verdadeiro aumento médio de peso
das crianças que tomam o leite A no primeiro mês está entre
g e
g. Se repetíssemos o experimento muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro
.