Questão 1 - Regras de Derivação (18 pontos)
Cálculo:
\frac{d}{d x}\left(4 x^{2} \cdot 2^{3 x+1}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=4x^2cdot 2^3x+1
e pede a derivada f'(x). Para resolver vamos usar a regra do produto e a regra da derivada de exponencial com base 2, em que
ddxl(2^u(x)r)=2^u(x)ln(2),u'(x)

Passo 2

Definimos
u(x)=4x^2, v(x)=2^3x+1
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=4x^2,
u'(x)=8x

Passo 4

Agora v(x)=2^3x+1. Usando a regra da exponencial, escrevemos v(x)=e^(3x+1)ln2 e obtemos
v'(x)=2^3x+1ln(2)cdotddx(3x+1) =2^3x+1ln(2)cdot 3 =3ln(2),2^3x+1

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x):
f'(x) =8xcdot 2^3x+1 +4x^2cdotl(3ln(2),2^3x+1r)
Fatorando 2^3x+1 e 4x:
f'(x) =2^3x+1l(8x+12x^2ln(2)r) =4x,2^3x+1l(2+3xln(2)r)

Resposta

f'(x)=4x,2^3x+1l(2+3xln(2)r)

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