Suponha que a loja de câmeras resolva adotar a seguinte política de estoques:
  • Caso o hajam 0 ou 1 câmeras disponíveis ao fim de uma semana, é colocado um pedido para que o estoque inicie a próxima semana com 3 câmeras
  • Caso contrário, não é feito pedido nenhum
    a) Recalcule as probabilidades de estado estável
    b) Recalcule o custo médio semanal esperado
i 0 1 2 3 4 5 6
P(Dt)=i 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 0,001

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • A distribuição da demanda semanal D_t é, para i=0,\dots,6:
    \;P(D_t=0)=0,368,\;P(D_t=1)=0,368,\;P(D_t=2)=0,184,\;P(D_t=3)=0,061,\;P(D_t=4)=0,015,\;P(D_t=5)=0,003,\;P(D_t=6)=0,001. (Peguei estes valores da tabela que você enviou.)
  • A política de estoques (nova) é: se, ao fim da semana, o estoque final for 0 ou 1, é feito um pedido de reposição para que o estoque inicie a próxima semana com 3 câmeras; caso contrário, não se pede nada.
O que o enunciado pede:
a) Recalcular as probabilidades de estado estável (ou estacionárias) dos níveis de estoque iniciais da semana, para os estados i=0,1,\dots,6.
b) Recalcular o custo médio semanal esperado.
Observação importante: o enunciado que você mandou não fornece parâmetros de custo (por exemplo: custo de manter uma câmera por semana, custo fixo por pedido, custo por falta/atendimento perdido, custo unitário de compra, etc.). Sem esses valores não há como fornecer um valor numérico para o custo médio semanal. Posso, no entanto, (i) obter a distribuição estacionária numérica; e (ii) escrever explicitamente como calcular o custo médio semanal esperado em função dos parâmetros de custo (fórmulas que você poderá avaliar assim que me der os números, ou que você mesmo pode usar para calcular). Vou proceder assim.

Passo 2

Modelagem do processo (explicação didática, passo a passo):
  • Vamos considerar que o estado X_t é o estoque disponível no começo da semana t, antes de ocorrer a demanda. Assim os estados possíveis são 0,1,\dots,6.
  • Durante a semana ocorre a demanda D_t. Se D_t\le X_t, o estoque final da semana é e=X_t-D_t. Se D_t>X_t, ficamos com e=0 (demanda maior que estoque → estoque não negativo).
  • Após a demanda, aplica-se a política: se e\in\{0,1\} então o pedido é colocado e o estoque no começo da próxima semana X_{t+1}=3; se e\ge2 então não se pede nada e X_{t+1}=e.
  • Assim temos uma cadeia de Markov discreta com transições X_t=i \to X_{t+1}=j obtidas somando as probabilidades de demandas que geram e com a regra de reposição acima.
  • Para calcular probabilidades de transição: para um dado i, a probabilidade de terminar a semana com e=k (com k\ge1) é P(e=k)=P(D_t=i-k)=p_{i-k} (desde que i-k esteja entre 0 e 6); a probabilidade de e=0 é P(e=0)=P(D_t\ge i)=\sum_{d=i}^{6}p_d.

Passo 3

Cálculo das probabilidades de transição linha a linha (usei os p_d da tabela que você deu):
  • Para i=0: qualquer demanda satisfaz D_t\ge0 e=0 com probabilidade 1 → imediatamente pede-se e X_{t+1}=3 com probabilidade 1. Logo P_{0\to3}=1.
  • Para i=1: e=1 ocorre se D_t=0 (prob. 0,368), e=0 ocorre se D_t\ge1 (prob. 0,632). Ambos e=0 e e=1 causam pedido → X_{t+1}=3 com probabilidade 1. Logo P_{1\to3}=1.
  • Para i=2:
    e=2 se D_t=0 (prob. 0,368) → então X_{t+1}=2.
    e=1 se D_t=1 (prob. 0,368) → pedido → X_{t+1}=3.
    e=0 se D_t\ge2 (prob. 0,264) → pedido → X_{t+1}=3.
    Logo P_{2\to2}=0,368, P_{2\to3}=0,368+0,264=0,632.
  • Para i=3:
    e=3 se D_t=0 (prob. 0,368) → X_{t+1}=3.
    e=2 se D_t=1 (prob. 0,368) → X_{t+1}=2.
    e=1 se D_t=2 (prob. 0,184) → pedido → X_{t+1}=3.
    e=0 se D_t\ge3 (prob. 0,080) → pedido → X_{t+1}=3.
    Logo P_{3\to2}=0,368, P_{3\to3}=0,368+0,184+0,080=0,632.
  • Para i=4:
    e=4 se D_t=0 (prob. 0,368) → X_{t+1}=4.
    e=3 se D_t=1 (prob. 0,368) → X_{t+1}=3.
    e=2 se D_t=2 (prob. 0,184) → X_{t+1}=2.
    e=1 se D_t=3 (prob. 0,061) → pedido → X_{t+1}=3.
    e=0 se D_t\ge4 (prob. 0,019) → pedido → X_{t+1}=3.
    Logo P_{4\to4}=0,368, P_{4\to3}=0,368+0,061+0,019=0,448, P_{4\to2}=0,184.
  • Para i=5:
    e=5 se D_t=0 (prob. 0,368) → X_{t+1}=5.
    e=4 se D_t=1 (prob. 0,368) → X_{t+1}=4.
    e=3 se D_t=2 (prob. 0,184) → X_{t+1}=3.
    e=2 se D_t=3 (prob. 0,061) → X_{t+1}=2.
    e=1 se D_t=4 (prob. 0,015) → pedido → X_{t+1}=3.
    e=0 se D_t\ge5 (prob. 0,004) → pedido → X_{t+1}=3.
    Logo P_{5\to5}=0,368,\;P_{5\to4}=0,368,\;P_{5\to3}=0,184+0,015+0,004=0,203,\;P_{5\to2}=0,061.
  • Para i=6:
    e=6 se D_t=0 (prob. 0,368) → X_{t+1}=6.
    e=5 se D_t=1 (prob. 0,368) → X_{t+1}=5.
    e=4 se D_t=2 (prob. 0,184) → X_{t+1}=4.
    e=3 se D_t=3 (prob. 0,061) → X_{t+1}=3.
    e=2 se D_t=4 (prob. 0,015) → X_{t+1}=2.
    e=1 se D_t=5 (prob. 0,003) → pedido → X_{t+1}=3.
    e=0 se D_t=6 (prob. 0,001) → pedido → X_{t+1}=3.
    Logo P_{6\to6}=0,368,\;P_{6\to5}=0,368,\;P_{6\to4}=0,184,\;P_{6\to3}=0,061+0,003+0,001=0,065,\;P_{6\to2}=0,015.

Passo 4

Resumo da matriz de transição (linhas i=0,\dots,6, colunas j=0,\dots,6). Escrevo apenas entradas não nulas por linha (usei os valores calculados acima):
  • Linha i=0:\; P_{0\to3}=1.
  • Linha i=1:\; P_{1\to3}=1.
  • Linha i=2:\; P_{2\to2}=0,368,\;P_{2\to3}=0,632.
  • Linha i=3:\; P_{3\to2}=0,368,\;P_{3\to3}=0,632.
  • Linha i=4:\; P_{4\to2}=0,184,\;P_{4\to3}=0,448,\;P_{4\to4}=0,368.
  • Linha i=5:\; P_{5\to2}=0,061,\;P_{5\to3}=0,203,\;P_{5\to4}=0,368,\;P_{5\to5}=0,368.
  • Linha i=6:\; P_{6\to2}=0,015,\;P_{6\to3}=0,065,\;P_{6\to4}=0,184,\;P_{6\to5}=0,368,\;P_{6\to6}=0,368.

Passo 5

Determinação da distribuição estacionária (passo didático):
  • Procuramos \pi=(\pi_0,\dots,\pi_6) tal que \pi=\pi P e \sum_{i=0}^{6}\pi_i=1.
  • Observe que estados 0 e 1 têm transição certa para 3 e, além disso, não há transição para 0 ou 1 que resulte em início de semana com 0 ou 1 (porque sempre que o estoque final é 0 ou 1 faz-se pedido e o próximo início é 3). Logo estados 0 e 1 não são possíveis como estados de início de semana em regime estacionário: \pi_0=\pi_1=0.
  • Verificando as equações para i=6: \pi_6 = \pi_6\cdot 0,368 (apenas 6 tem auto-transição 0,368 para 6), o que implica \pi_6(1-0,368)=0\Rightarrow \pi_6=0. Substituindo de forma semelhante nas equações para 5 e 4 vemos que \pi_5=\pi_4=0 (porque suas equações levam a multiplicar por 1-0,368 e somas envolvendo já nulas \pi_6, \pi_5, etc.).
  • Portanto toda a massa em regime permanente fica concentrada na classe fechada \{2,3\}. Nas equações reduzidas para \pi_2,\pi_3 temos: \pi_2 = 0,368(\pi_2+\pi_3),\qquad \pi_3 = 0,632(\pi_2+\pi_3).Como \pi_2+\pi_3=1, obtemos \pi_2=0,368 e \pi_3=0,632.
  • Assim \pi_0=\pi_1=\pi_4=\pi_5=\pi_6=0,\\ \pi_2=0,368,\\ \pi_3=0,632. (Checagem rápida: colunas somam 1 e distribuição normalizada.)

Passo 6

Como calcular o custo médio semanal esperado (fórmula geral e como avaliar numericamente):
  • Em geral, o custo médio semanal esperado pode ser escrito como \mathbb{E}[C]=\sum_{s=0}^{6}\pi_s\;\mathbb{E}[C\mid X_t=s],onde X_t=s\) é o estoque no início da semana e \(\mathbb{E}[C\mid X_t=s]\) é o custo esperado durante a semana condicionado em começar com \(s\) unidades. - Para dar uma fórmula útil, defina parâmetros de custo (estes são símbolos — substitua pelos números do seu enunciado): - \(h\): custo de manter uma câmera no estoque por semana (custo de manutenção/armazenagem por unidade). - \(K\): custo fixo por pedido (se existe um custo fixo quando um pedido é feito). - \(c\): custo por unidade comprada (se for relevante). - \(p\): custo por unidade de falta/atendimento perdido (penalidade por cada unidade de demanda não atendida). (Se o seu enunciado tiver uma estrutura diferente retire/adicione termos conforme necessário.) - Cálculos auxiliares condicionados a \(X_t=s\): - Probabilidade de pedir reposição (terminar a semana com \(e=0\) ou \(e=1\)): \[P(\text{pedido}\mid s)=P(e=0\text{ ou }1\mid s)=\sum_{d=s}^{6}p_d + \begin{cases} p_{s-1}, & s\ge1,\\[4pt] 0,& s=0.\end{cases}(Aqui usei os p_d\] da sua tabela.) - Esperança do estoque final (antes de qualquer reposição), \(E[e\mid s]: \mathbb{E}[e\mid s]=\sum_{d=0}^{s} (s-d)\,p_d.(Lembre que para d>s temos e=0, já contabilizado em termos de d\ge s.)
    • Esperança de falta (unidades não atendidas) quando começa com s: \mathbb{E}[(D_t-s)_+ \mid s]=\sum_{d=s+1}^{6} (d-s)\,p_d.
  • Assim uma expressão geral para o custo esperado condicionado em s é, por exemplo, \mathbb{E}[C\mid s]=K\cdot P(\text{pedido}\mid s)\;+\; h\cdot\mathbb{E}[e\mid s]\;+\; p\cdot\mathbb{E}[(D_t-s)_+\mid s]\;+\; c\cdot\mathbb{E}[\text{unidades compradas}\mid s],onde \mathbb{E}[\text{unidades compradas}\mid s] depende da política de reposição (no seu caso, quando há pedido o estoque é reposto para 3, logo unidades compradas condicionadas em s são 3-e sempre que e\in\{0,1\}; assim \mathbb{E}[\text{unidades compradas}\mid s]=\sum_{d:\,e\in\{0,1\}} (3-e)\,p_d.)
  • Finalmente insira na fórmula de esperança total: \mathbb{E}[C]=\sum_{s=0}^{6}\pi_s\;\mathbb{E}[C\mid s],usando os \pi_s encontrados no Passo 5 e os p_d da sua tabela. Substitua os números para h,K,p,c do seu enunciado para obter o valor numérico do custo médio semanal.]

Resposta

a) \pi_0=0,\\ \pi_1=0,\\ \pi_2=0,368,\\ \pi_3=0,632,\\ \pi_4=0,\\ \pi_5=0,\\ \pi_6=0.\n
b) Não é possível calcular numericamente o custo médio semanal porque os parâmetros de custo (por exemplo h,K,p,c) não foram fornecidos. Em função desses parâmetros, o custo médio é dado por
\mathbb{E}[C]=\sum_{s=0}^{6}\pi_s\Bigl(K\cdot P(\text{pedido}\mid s)+h\cdot\mathbb{E}[e\mid s]+p\cdot\mathbb{E}[(D_t-s)_+\mid s]+c\cdot\mathbb{E}[\text{unid.\\ compradas}\mid s]\Bigr),
com P(\text{pedido}\mid s)=\sum_{d=s}^{6}p_d+\mathbf{1}_{\{s\ge1\}}p_{s-1}, \mathbb{E}[e\mid s]=\sum_{d=0}^{s}(s-d)p_d e \mathbb{E}[(D_t-s)_+\mid s]=\sum_{d=s+1}^{6}(d-s)p_d. Substitua os valores de h,K,p,c do seu enunciado e avalie esta soma para obter o valor numérico.

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