Suponha que a loja de câmeras resolva adotar a seguinte política de estoques:
- Caso o hajam 0 ou 1 câmeras disponíveis ao fim de uma semana, é colocado um pedido para que o estoque inicie a próxima semana com 3 câmeras
- Caso contrário, não é feito pedido nenhum
a) Recalcule as probabilidades de estado estável
b) Recalcule o custo médio semanal esperado
a) Recalcule as probabilidades de estado estável
b) Recalcule o custo médio semanal esperado
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(Dt)=i | 0,368 | 0,368 | 0,184 | 0,061 | 0,015 | 0,003 | 0,001 |
Passo 1
O que o enunciado dá:
- A distribuição da demanda semanal
é, para :
(Peguei estes valores da tabela que você enviou.) - A política de estoques (nova) é: se, ao fim da semana, o estoque final for
ou , é feito um pedido de reposição para que o estoque inicie a próxima semana com câmeras; caso contrário, não se pede nada.
O que o enunciado pede:
a) Recalcular as probabilidades de estado estável (ou estacionárias) dos níveis de estoque iniciais da semana, para os estados .
b) Recalcular o custo médio semanal esperado.
a) Recalcular as probabilidades de estado estável (ou estacionárias) dos níveis de estoque iniciais da semana, para os estados
b) Recalcular o custo médio semanal esperado.
Observação importante: o enunciado que você mandou não fornece parâmetros de custo (por exemplo: custo de manter uma câmera por semana, custo fixo por pedido, custo por falta/atendimento perdido, custo unitário de compra, etc.). Sem esses valores não há como fornecer um valor numérico para o custo médio semanal. Posso, no entanto, (i) obter a distribuição estacionária numérica; e (ii) escrever explicitamente como calcular o custo médio semanal esperado em função dos parâmetros de custo (fórmulas que você poderá avaliar assim que me der os números, ou que você mesmo pode usar para calcular). Vou proceder assim.
Passo 2
Modelagem do processo (explicação didática, passo a passo):
- Vamos considerar que o estado
é o estoque disponível no começo da semana , antes de ocorrer a demanda. Assim os estados possíveis são . - Durante a semana ocorre a demanda
. Se , o estoque final da semana é . Se , ficamos com (demanda maior que estoque → estoque não negativo). - Após a demanda, aplica-se a política: se
então o pedido é colocado e o estoque no começo da próxima semana ; se então não se pede nada e . - Assim temos uma cadeia de Markov discreta com transições
obtidas somando as probabilidades de demandas que geram com a regra de reposição acima. - Para calcular probabilidades de transição: para um dado
, a probabilidade de terminar a semana com (com ) é (desde que esteja entre e ); a probabilidade de é .
Passo 3
Cálculo das probabilidades de transição linha a linha (usei os
da tabela que você deu):
- Para
: qualquer demanda satisfaz → com probabilidade → imediatamente pede-se e com probabilidade . Logo . - Para
: ocorre se (prob. ), ocorre se (prob. ). Ambos e causam pedido → com probabilidade . Logo . - Para
:
se (prob. ) → então .
se (prob. ) → pedido → .
se (prob. ) → pedido → .
Logo, . - Para
:
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → pedido → .
se (prob. ) → pedido → .
Logo, . - Para
:
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → pedido → .
se (prob. ) → pedido → .
Logo, , . - Para
:
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → pedido → .
se (prob. ) → pedido → .
Logo. - Para
:
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → .
se (prob. ) → pedido → .
se (prob. ) → pedido → .
Logo.
Passo 4
Resumo da matriz de transição (linhas
, colunas
). Escrevo apenas entradas não nulas por linha (usei os valores calculados acima):
- Linha
. - Linha
. - Linha
. - Linha
. - Linha
. - Linha
. - Linha
.
Passo 5
Determinação da distribuição estacionária (passo didático):
- Procuramos
tal que e . - Observe que estados
e têm transição certa para e, além disso, não há transição para ou que resulte em início de semana com ou (porque sempre que o estoque final é ou faz-se pedido e o próximo início é ). Logo estados e não são possíveis como estados de início de semana em regime estacionário: . - Verificando as equações para
: (apenas tem auto-transição para ), o que implica . Substituindo de forma semelhante nas equações para e vemos que (porque suas equações levam a multiplicar por e somas envolvendo já nulas , , etc.). - Portanto toda a massa em regime permanente fica concentrada na classe fechada
. Nas equações reduzidas para temos: Como , obtemos e . - Assim
. (Checagem rápida: colunas somam 1 e distribuição normalizada.)
Passo 6
Como calcular o custo médio semanal esperado (fórmula geral e como avaliar numericamente):
- Em geral, o custo médio semanal esperado pode ser escrito como
onde (Aqui usei os : (Lembre que para temos , já contabilizado em termos de .) - Esperança de falta (unidades não atendidas) quando começa com
:
- Esperança de falta (unidades não atendidas) quando começa com
- Assim uma expressão geral para o custo esperado condicionado em
é, por exemplo, onde depende da política de reposição (no seu caso, quando há pedido o estoque é reposto para , logo unidades compradas condicionadas em são sempre que ; assim ) - Finalmente insira na fórmula de esperança total:
usando os encontrados no Passo 5 e os da sua tabela. Substitua os números para do seu enunciado para obter o valor numérico do custo médio semanal.]
Resposta
a)
\n
b) Não é possível calcular numericamente o custo médio semanal porque os parâmetros de custo (por exemplo ) não foram fornecidos. Em função desses parâmetros, o custo médio é dado por
b) Não é possível calcular numericamente o custo médio semanal porque os parâmetros de custo (por exemplo
com
,
e
. Substitua os valores de
do seu enunciado e avalie esta soma para obter o valor numérico.