Verifique que numa pirâmide quadrangular regular o volume
, a área lateral
e a área total
satisfazem a relação
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que, numa pirâmide quadrangular regular, as grandezas volume
, área lateral
e área total
satisfazem a relação
Informações dadas (ou que podemos assumir por definição de “pirâmide quadrangular regular”):
- A base é um quadrado de lado
. - O vértice da pirâmide está acima do centro do quadrado (pirâmide regular).
- Denotarei por
a altura da pirâmide (distância do vértice ao plano da base). - Denotarei por
a apótema lateral (também chamada de geratriz ou “slant height”): a altura de cada face triangular isósceles (distância do meio do lado da base até o vértice, ao longo da face). - A área lateral
é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes. - A área total
é a soma da área lateral com a área da base (onde ). - O volume
é o habitual volume da pirâmide em função da área da base e da altura.
Não vou resolver ainda; apenas listei as incógnitas e relações geométricas que usaremos nos próximos passos.
Passo 2
Fórmulas básicas e explicações (aulas rápidas necessárias para a prova):
- Área da base: a base é um quadrado de lado
, logo a área da base é
- Área lateral
: cada face lateral é um triângulo com base e altura . A área de um triângulo é . Como há 4 triângulos iguais,
Explanação breve: lembre que a apótema lateral
é a altura desses triângulos; multiplicando por
daria a área de metade, por isso
por triângulo.
- Área total
: soma da lateral com a base,
- Volume
: volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura,
- Relação entre
, e : o segmento que une o vértice ao ponto médio de um lado da base forma um triângulo retângulo com catetos e e hipotenusa . Portanto (Teorema de Pitágoras),
Essa relação geométrica será a chave para fechar a identidade.
Passo 3
Calculemos o lado esquerdo da identidade,
, usando
.
Agora desenvolvendo:
Portanto
Passo 4
Calculemos o lado direito
expressando tudo em
e
.
Já sabemos ,
e
.
Primeiro observe:
Já sabemos
Primeiro observe:
E
Então
Substituindo
e fatorando
quando útil:
Colocando um fator
fora de cada termo para ver o padrão:
Então
Multiplicando os fatores conjugados:
Portanto
Passo 5
Agora comparemos os dois lados obtidos:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Subtraindo/igualando (ou dividindo por
, que é positivo para
):
Reescrevendo:
Dividindo por
:
Mas esta última igualdade é precisamente a relação pitagórica que afirmamos no Passo 2 para a apótema lateral
. Logo a igualdade entre os dois lados é verdadeira.
Concluímos que, usando as fórmulas geométricas habituais e a relação pitagórica entre
, a identidade é satisfeita.