Verifique que numa pirâmide quadrangular regular o volume V, a área lateral A e a área total S satisfazem a relação 36 V^{2}=S(S-A)(2 A-S).

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que, numa pirâmide quadrangular regular, as grandezas volume V, área lateral A e área total S satisfazem a relação
36V^{2}=S(S-A)(2A-S).
Informações dadas (ou que podemos assumir por definição de “pirâmide quadrangular regular”):
  • A base é um quadrado de lado a.
  • O vértice da pirâmide está acima do centro do quadrado (pirâmide regular).
  • Denotarei por h a altura da pirâmide (distância do vértice ao plano da base).
  • Denotarei por l a apótema lateral (também chamada de geratriz ou “slant height”): a altura de cada face triangular isósceles (distância do meio do lado da base até o vértice, ao longo da face).
  • A área lateral A é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes.
  • A área total S é a soma da área lateral A com a área da base B (onde B=a^{2}).
  • O volume V é o habitual volume da pirâmide em função da área da base e da altura.
Não vou resolver ainda; apenas listei as incógnitas e relações geométricas que usaremos nos próximos passos.

Passo 2

Fórmulas básicas e explicações (aulas rápidas necessárias para a prova):
  • Área da base: a base é um quadrado de lado a, logo a área da base é
B = a^{2}.
  • Área lateral A: cada face lateral é um triângulo com base a e altura l. A área de um triângulo é \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. Como há 4 triângulos iguais,
A = 4\left(\frac{1}{2}a l\right)=2 a l.
Explanação breve: lembre que a apótema lateral l é a altura desses triângulos; multiplicando por a/2 daria a área de metade, por isso \tfrac{1}{2}a l por triângulo.
  • Área total S: soma da lateral com a base,
S = A + B = 2 a l + a^{2}.
  • Volume V: volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura,
V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} a^{2} h.
  • Relação entre l, h e a: o segmento que une o vértice ao ponto médio de um lado da base forma um triângulo retângulo com catetos h e a/2 e hipotenusa l. Portanto (Teorema de Pitágoras),
l^{2}=h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=h^{2}+\frac{a^{2}}{4}.
Essa relação geométrica será a chave para fechar a identidade.

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo da identidade, 36V^{2}, usando V=\tfrac{1}{3}a^{2}h.
36V^{2}=36\left(\frac{1}{3}a^{2}h\right)^{2}.
Agora desenvolvendo:
36V^{2}=36\cdot\frac{1}{9}a^{4}h^{2}=4a^{4}h^{2}.
Portanto
36V^{2}=4a^{4}h^{2}.

Passo 4

Calculemos o lado direito S(S-A)(2A-S) expressando tudo em a e l.
Já sabemos B=a^{2}, A=2al e S=A+B=2al+a^{2}.
Primeiro observe:
S-A = (A+B)-A=B=a^{2}.
E
2A-S = 2A-(A+B)=A-B = 2al - a^{2}.
Então
S(S-A)(2A-S)=S\cdot a^{2}\cdot(2al-a^{2}).
Substituindo S=a^{2}+2al e fatorando a quando útil:
S(S-A)(2A-S)=(a^{2}+2al)\cdot a^{2}\cdot(2al-a^{2}).
Colocando um fator a fora de cada termo para ver o padrão:
a^{2}+2al = a( a + 2l ), \qquad 2al-a^{2}=a(2l-a).
Então
S(S-A)(2A-S)=a( a+2l )\cdot a^{2}\cdot a(2l-a)=a^{4}(a+2l)(2l-a).
Multiplicando os fatores conjugados:
(a+2l)(2l-a)= (2l)^{2}-a^{2}=4l^{2}-a^{2}.
Portanto
S(S-A)(2A-S)=a^{4}\bigl(4l^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 5

Agora comparemos os dois lados obtidos:
  • Lado esquerdo: 36V^{2}=4a^{4}h^{2}.
  • Lado direito: S(S-A)(2A-S)=a^{4}\bigl(4l^{2}-a^{2}\bigr).
Subtraindo/igualando (ou dividindo por a^{4}, que é positivo para a\neq 0):
4h^{2}=4l^{2}-a^{2}.
Reescrevendo:
4l^{2}-4h^{2}=a^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 4(l^{2}-h^{2})=a^{2}.
Dividindo por 4:
l^{2}-h^{2}=\frac{a^{2}}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad l^{2}=h^{2}+\frac{a^{2}}{4}.
Mas esta última igualdade é precisamente a relação pitagórica que afirmamos no Passo 2 para a apótema lateral l. Logo a igualdade entre os dois lados é verdadeira.
Concluímos que, usando as fórmulas geométricas habituais e a relação pitagórica entre l,h,a, a identidade é satisfeita.

Resposta

36V^{2}=S(S-A)(2A-S)

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