Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={x, 0<x<1 0, x>1. Considere f par

Passo 1

O enunciado pede a representação por integral de Fourier de uma função par definida por f(x)=x em (0,1) e f(x)=0 em (1,∞). Vamos usar transformada de Fourier-cosseno, pois f é par.

Passo 2

Para funções pares, a fórmula da série integral de Fourier é
f(x)=integral0^inftyA(omega),cos(omega x),domega
onde
A(omega)=tfrac2piintegral0^inftyf(t),cos(omega t),dt
.

Passo 3

Como f(t)=t só em [0,1] (e zero além), computamos
I(omega)=integral0^1t,cos(omega t),dt
Por integração por partes, tomamos u=t, dv=\cos(\omega t)dt, então du=dt, v=\tfrac{\sin(\omega t)}{\omega}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas de integração por partes:
I(omega)=l[tsin(omega t)omegar]0^1-integral0^1sin(omega t)omega,dt
O primeiro termo dá tfracsinomegaomega. O segundo é
1omegaintegral0^1sin(omega t)dt=1omegal[-cos(omega t)omegar]0^1=cosomega-1omega^2

Passo 5

Logo
I(omega)=sinomegaomega+cosomega-1omega^2
E assim
A(omega)=2pil(sinomegaomega+cosomega-1omega^2r)
.

Passo 6

A representação final fica então
f(x)=integral0^infty2pil(sinomegaomega+cosomega-1omega^2r)cos(omega x),domega

Resposta

f(x)=integral0^infty2pil(sinomegaomega+cosomega-1omega^2r)cos(omega x),domega

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