Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={x, 0<x<1 0, x>1. Considere f par
f(x)={x, 0<x<1 0, x>1. Considere f par
Passo 1
O enunciado pede a representação por integral de Fourier de uma função par definida por f(x)=x em (0,1) e f(x)=0 em (1,∞). Vamos usar transformada de Fourier-cosseno, pois f é par.
Passo 2
Para funções pares, a fórmula da série integral de Fourier é
onde
.
Passo 3
Como f(t)=t só em [0,1] (e zero além), computamos
Por integração por partes, tomamos u=t, dv=\cos(\omega t)dt, então du=dt, v=\tfrac{\sin(\omega t)}{\omega}.
Passo 4
Aplicando as fórmulas de integração por partes:
O primeiro termo dá
. O segundo é
Passo 5
Logo
E assim
.
Passo 6
A representação final fica então