Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=3 e^2 t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Estamos diante de um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-4y'+4y=3e^2t, com condições y(0)=1 e y'(0)=0. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve dois passos principais: achar a solução complementar (homogênea) e uma solução particular, e em seguida aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y''-4y'+4y=0. Escrevemos a equação característica:
r^2-4r+4=0
Esse polinômio fatora como (r-2)^2=0, logo temos raiz dupla r=2. A solução complementar é
yc(t)=C1e^2t+C2t e^2t

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular para a parte não-homogênea 3e^2t. Como e^2t já aparece na solução complementar com multiplicidade 2, multiplicamos por t^2 e propomos
yp(t)=A t^2e^2t
Esse é o passo em que o método dos coeficientes indeterminados lida com a ressonância.

Passo 4

Em seguida, calculamos yp' e yp'' e substituímos na equação original. Depois de fatorar e^2t, obtemos
$$y_p’’-4y_p’+4y_p = 2A e^{2t}.
$$
Para que isso seja igual a yp''-4yp'+4yp = 2A e^2t , basta igualar os coeficientes: 3e^2t, de onde 2A=3.

Passo 5

Com A=3/2, a solução geral é
$$y(t)=C_1e{2t}+C_2te{2t}+ rac{3}{2}t2e{2t}.
$$

Passo 6

Por fim, aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=1:
y(0)=C1=1
Depois, derivamos y(t), avaliamos em t=0 e igualamos a zero:
y'(0)=2C1+C2=0,Rightarrow,2cdot1+C2=0,Rightarrow,C2=-2
Portanto, temos C1=1 e C2=-2.

Resposta

y(t)=e^2tl(1-2t+tfrac32t^2r)

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