Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Estamos diante de um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
, com condições
e
. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve dois passos principais: achar a solução complementar (homogênea) e uma solução particular, e em seguida aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
. Escrevemos a equação característica:
Esse polinômio fatora como
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular para a parte não-homogênea
. Como
já aparece na solução complementar com multiplicidade 2, multiplicamos por
e propomos
Esse é o passo em que o método dos coeficientes indeterminados lida com a ressonância.
Passo 4
Em seguida, calculamos
e
e substituímos na equação original. Depois de fatorar
, obtemos
$$y_p’’-4y_p’+4y_p = 2A e^{2t}.
$$
Para que isso seja igual a , basta igualar os coeficientes:
, de onde
.
Para que isso seja igual a
Passo 5
Com
, a solução geral é
$$y(t)=C_1e{2t}+C_2te{2t}+rac{3}{2}t2e{2t}.
$$
Passo 6
Por fim, aplicamos as condições iniciais. Primeiro
:
Depois, derivamos
Portanto, temos
e
.