Encontre a solução geral da equaçao diferencial dada.
y^prime prime-y^prime=x e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial linear de 2ª ordem (“tipo y’’ − y’ = f(x)”) e método dos coeficientes indeterminados.
Vamos precisar resolver a parte homogênea e achar uma solução particular para o termo não homogêneo x e^x.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y’’ − y’ = 0.
A equação característica é
r^2 - r = 0
di onde r(r-1)=0, dando r=0 e r=1. Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^0x + C2 e^1x = C1 + C2 e^x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para y’’ − y’ = x e^x usando coeficientes indeterminados.
Como o termo não homogêneo é P_1(x)e^x com P_1(x)=x, propomos
yp = (a x^2 + b x) e^x
porque e^x já aparece em y_h (multiplicidade 1), então multiplicamos o polinômio de grau 1 por x para evitar coincidência.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p. Chamando q(x)=a x^2 + b x, temos
yp = e^x q(x), yp' = e^x(q+q'), yp'' = e^x(q + 2q' + q'')
Especificamente:
q(x)=a x^2 + b x, q'(x)=2a x + b, q''(x)=2a
Então
yp' = e^xigl(a x^2 + (b+2a)x + bigr), 
yp''= e^xigl(a x^2 + (b+4a)x + (2b+2a)igr) 

Passo 5

Substituímos em y’’ − y’ = x e^x:
yp'' - yp' = e^xigl[(a x^2 + (b+4a)x + (2b+2a)) - (a x^2 + (b+2a)x + b)igr] 
= e^xigl(2a x + (b+2a)igr) 
Isso deve ser igual a x e^x, então
2a x + (b+2a) = x
Comparando coeficientes:
2a = 1 implies a = tfrac12,
b + 2a = 0 implies b + 1 = 0 implies b = -1
Portanto
yp = l(tfrac12 x^2 - xr)e^x

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^x + l(tfrac12 x^2 - xr)e^x

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