Encontre a solução geral da equaçao diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial linear de 2ª ordem (“tipo y’’ − y’ = f(x)”) e método dos coeficientes indeterminados.
Vamos precisar resolver a parte homogênea e achar uma solução particular para o termo não homogêneo x e^x.
Conteúdo: equação diferencial linear de 2ª ordem (“tipo y’’ − y’ = f(x)”) e método dos coeficientes indeterminados.
Vamos precisar resolver a parte homogênea e achar uma solução particular para o termo não homogêneo x e^x.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y’’ − y’ = 0.
A equação característica é
A equação característica é
di onde r(r-1)=0, dando r=0 e r=1. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_p para y’’ − y’ = x e^x usando coeficientes indeterminados.
Como o termo não homogêneo é P_1(x)e^x com P_1(x)=x, propomos
Como o termo não homogêneo é P_1(x)e^x com P_1(x)=x, propomos
porque e^x já aparece em y_h (multiplicidade 1), então multiplicamos o polinômio de grau 1 por x para evitar coincidência.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p. Chamando q(x)=a x^2 + b x, temos
Especificamente:
Então
Passo 5
Substituímos em y’’ − y’ = x e^x:
Isso deve ser igual a x e^x, então
Comparando coeficientes:
Portanto
Resposta
A solução geral é