Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={sen(x), 0<x<π 0, x>π. Considere f par
f(x)={sen(x), 0<x<π 0, x>π. Considere f par
Passo 1
A função é dada por
f(x)=sin(x) para 0<x<π e f(x)=0 para x>π, e estendemos f de forma par (f(−x)=f(x)). O conteúdo aqui é representação por integral de Fourier para funções pares, e vamos precisar usar a transformada cosseno: fórmulas gerais de integral de Fourier para f par.
f(x)=sin(x) para 0<x<π e f(x)=0 para x>π, e estendemos f de forma par (f(−x)=f(x)). O conteúdo aqui é representação por integral de Fourier para funções pares, e vamos precisar usar a transformada cosseno: fórmulas gerais de integral de Fourier para f par.
Passo 2
Para função par, a representação por integral de Fourier envolve só termos de cosseno. Em particular:
onde
Passo 3
Como f(t)=sin(t) apenas em [0,π] e vale zero fora, temos
Passo 4
Para calcular
, usamos a identidade
Então
$$
\int_{0}^{\pi}\sin(t)\cos(\omega t),dt=\frac{1}{2}\Bigl[\frac{1-\cos((1+\omega)\pi)}{1+\omega}+\frac{1-\cos((1-\omega)\pi)}{1-\omega}\Bigr].$$
Passo 5
Observando que (pois
), cada termo
vira
. Logo,
Passo 6
Substituindo no
:
$$
A_{c}(\omega)=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1+\cos(\omega\pi)}{1-\omega^{2}}.
f(x)=\int_{0}{\infty}\frac{2}{\pi},\frac{1+\cos(\omega\pi)}{1-\omega{2}},\cos(\omega x),d\omega.$$