Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={sen(x), 0<x<π 0, x>π. Considere f par

Passo 1

A função é dada por
f(x)=sin(x) para 0<x<π e f(x)=0 para x>π, e estendemos f de forma par (f(−x)=f(x)). O conteúdo aqui é representação por integral de Fourier para funções pares, e vamos precisar usar a transformada cosseno: fórmulas gerais de integral de Fourier para f par.

Passo 2

Para função par, a representação por integral de Fourier envolve só termos de cosseno. Em particular:
f(x)=integral0^inftyAc(omega)cos(omega x),domega
onde
Ac(omega)=2piintegral0^inftyf(t)cos(omega t),dt

Passo 3

Como f(t)=sin(t) apenas em [0,π] e vale zero fora, temos
Ac(omega)=2piintegral0^pisin(t)cos(omega t),dt

Passo 4

Para calcular integral0^pisin(t)cos(omega t),dt, usamos a identidade
sin tcos(omega t)=12l[sin((1+omega)t)+sin((1-omega)t)r]
Então
$$
\int_{0}^{\pi}\sin(t)\cos(\omega t),dt=\frac{1}{2}\Bigl[\frac{1-\cos((1+\omega)\pi)}{1+\omega}+\frac{1-\cos((1-\omega)\pi)}{1-\omega}\Bigr].$$

Passo 5

Observando que (pois cos((1pmomega)pi)=-cos(omegapi)), cada termo sin(pi)=0 vira 1-cos((1pmomega)pi). Logo,
1+cos(omegapi)

Passo 6

Substituindo no Ac(omega):
$$
A_{c}(\omega)=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1+\cos(\omega\pi)}{1-\omega^{2}}. Ac(omega)=2picdot1+cos(omegapi)1-omega^2çãéf(x)=\int_{0}{\infty}\frac{2}{\pi},\frac{1+\cos(\omega\pi)}{1-\omega{2}},\cos(\omega x),d\omega.$$

Resposta

f(x)=integral0^infty2pi,1+cos(omegapi)1-omega^2,cos(omega x),domega

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