Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10 cm , e seja X a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X é
f(x)= k x, & 0 <= x <= 10 0, & cc
a) Calcule o valor da constante k.
b) Qual a probabilidade de “acertar a mosca”, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm ?
c) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo, é proporcional a sua área.
d) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre atirar dardos em um alvo circular com raio de 10 cm. A variável X representa a distância, em centímetros, do ponto onde o dardo cai até o centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X é dada por:
f(x)= k x, & 0 <= x <= 10 0, & caso contrário á
Vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade, integrais para encontrar constantes e calcular probabilidades e valores esperados. Vamos resolver as partes de a) a d) passo a passo.

Passo 2

Parte a) Calcular o valor da constante k.
Primeiro, sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
integral0^10 kx , dx = 1
Vamos resolver essa integral:
integral0^10 kx , dx = k integral0^10 x , dx = k [ x^22 ]0^10 = k ( 10^22 - 0 ) = k cdot 50
Então:
k cdot 50 = 1 implies k = 150

Passo 3

Parte b) Qual a probabilidade de “acertar a mosca”, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm?
Queremos calcular a probabilidade de que a distância X seja menor ou igual a 1 cm. Ou seja, P(X <= 1).
Usamos a função densidade de probabilidade para encontrar essa probabilidade:
P(X <= 1) = integral0^1 f(x) , dx = integral0^1 150x , dx
Resolvendo a integral:
integral0^1 150x , dx = 150 [ x^22 ]0^1 = 150 cdot 12 = 1100
Então, a probabilidade de acertar a mosca é 1100 ou 1%.

Passo 4

Parte c) Mostrar que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo é proporcional à sua área.
Vamos considerar um círculo concêntrico com raio r (onde 0 <= r <= 10 cm). A probabilidade de acertar esse círculo é P(X <= r).
Calculamos:
P(X <= r) = integral0^r f(x) , dx = integral0^r 150x , dx = 150 cdot r^22 = r^2100
A área de um círculo de raio r é A = pi r^2. Note que a probabilidade P(X <= r) = r^2100 está diretamente proporcional a r^2, que por sua vez está relacionado à área do círculo ( A propto r^2). Portanto,
P(X <= r) propto A
Isso mostra que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.

Passo 5

Parte d) Calcular a esperança, a variância e o desvio padrão de X.
Esperança (Valor Esperado) E[X]:
E[X] = integral0^10 x cdot f(x) , dx = integral0^10 x cdot 150x , dx = 150 integral0^10 x^2 , dx = 150 cdot 10^33 = 1000150 = 203 approx 66 cm
Variância Var(X):
Primeiro, calculamos E[X^2]:
E[X^2] = integral0^10 x^2 cdot f(x) , dx = integral0^10 x^2 cdot 150x , dx = 150 integral0^10 x^3 , dx = 150 cdot 10^44 = 10000200 = 50
Agora, a variância é:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 50 - (203)^2 = 50 - 4009 = 450 - 4009 = 509 approx 55 cm^2
Desvio Padrão SD(X):
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
SD(X) = raizVar(X) = raiz509 = raiz503 = 5raiz23 approx 2357 cm

Resposta

a) k = 150
b) A probabilidade de acertar a mosca é 1100 ou 1%.
c) A probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.
d) Esperança E[X] approx 6,67 cm, variância Var(X) approx 5,56 cm² e desvio padrão SD(X) approx 2,36 cm.

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