Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10 cm , e seja a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de é
a) Calcule o valor da constante .
b) Qual a probabilidade de “acertar a mosca”, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm ?
c) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo, é proporcional a sua área.
d) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre atirar dardos em um alvo circular com raio de 10 cm. A variável representa a distância, em centímetros, do ponto onde o dardo cai até o centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de é dada por:
Vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade, integrais para encontrar constantes e calcular probabilidades e valores esperados. Vamos resolver as partes de a) a d) passo a passo.
Passo 2
Parte a) Calcular o valor da constante .
Primeiro, sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Vamos resolver essa integral:
Então:
Passo 3
Parte b) Qual a probabilidade de “acertar a mosca”, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm?
Queremos calcular a probabilidade de que a distância seja menor ou igual a 1 cm. Ou seja, .
Usamos a função densidade de probabilidade para encontrar essa probabilidade:
Resolvendo a integral:
Então, a probabilidade de acertar a mosca é ou 1%.
Passo 4
Parte c) Mostrar que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo é proporcional à sua área.
Vamos considerar um círculo concêntrico com raio (onde cm). A probabilidade de acertar esse círculo é .
Calculamos:
A área de um círculo de raio é . Note que a probabilidade está diretamente proporcional a , que por sua vez está relacionado à área do círculo (). Portanto,
Isso mostra que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.
Passo 5
Parte d) Calcular a esperança, a variância e o desvio padrão de .
Esperança (Valor Esperado) :
Variância :
Primeiro, calculamos :
Agora, a variância é:
Desvio Padrão :
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
a) k = 150
b) A probabilidade de acertar a mosca é 1100 ou 1%.
c) A probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.
d) Esperança E[X] approx 6,67 cm, variância Var(X) approx 5,56 cm² e desvio padrão SD(X) approx 2,36 cm.