Seja
.
- (3 pts) O campo F é conservativo? justifique!
- (3 pts) Calcule
, onde
é a linha poligonal
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
pede (i) verificar se
é conservativo e (ii) calcular
, onde
é a poligonal de
até
passando pelas vértices indicados.
O conteúdo é teste de conservatividade via rotacional e, em caso afirmativo, uso de potencial para calcular integral de linha.
O conteúdo é teste de conservatividade via rotacional e, em caso afirmativo, uso de potencial para calcular integral de linha.
Passo 2
Calcular o rotacional
. Usando
temos
Portanto todos os componentes do rotacional são zero e
Como o domínio é
, simplesmente conexo, conclui-se que
é conservativo.
Passo 3
Determinar a função potencial
tal que
.
Integrando em
:
Integrando
Comparando
com
mostra
, logo
.
Depois, de igual a
, vem
, isto é
.
Podemos tomar , então
Depois, de
Podemos tomar
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha depende só dos pontos inicial e final:
Calculando:
Logo
Resposta
(a)
é conservativo, pois
em
simplesmente conexo.
(b) .
(b)