Seja \mathrm{F}(x, y, z)=(2 x y z-2 y) \mathrm{i}+\left(x^{2} z-2 x\right) \mathrm{j}+\left(x^{2} y+2 z\right) \mathrm{k}.
  • (3 pts) O campo F é conservativo? justifique!
  • (3 pts) Calcule \int_{C} \mathrm{~F} \cdot d \mathrm{r}, onde C é a linha poligonal (-1,0,2) \rightarrow(0,0,0) \rightarrow(1,1,0) \rightarrow(3,0,0) \rightarrow (2,0,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (2xyz - 2y)\,\mathbf{i} + (x^2z - 2x)\,\mathbf{j} + (x^2y + 2z)\,\mathbf{k},
pede (i) verificar se \mathbf{F} é conservativo e (ii) calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde C é a poligonal de (-1,0,2) até (2,0,1) passando pelas vértices indicados.
O conteúdo é teste de conservatividade via rotacional e, em caso afirmativo, uso de potencial para calcular integral de linha.

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Usando
F_1 = 2xyz - 2y,\quad F_2 = x^2z - 2x,\quad F_3 = x^2y + 2z,
temos
\frac{\partial F_3}{\partial y} = x^2,\quad \frac{\partial F_2}{\partial z} = x^2,
\frac{\partial F_1}{\partial z} = 2xy,\quad \frac{\partial F_3}{\partial x} = 2xy,
\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2xz - 2,\quad \frac{\partial F_1}{\partial y} = 2xz - 2.
Portanto todos os componentes do rotacional são zero e
\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}.
Como o domínio é \mathbb{R}^3, simplesmente conexo, conclui-se que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Determinar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Integrando F_1 em x:
\varphi(x,y,z)=\int(2xyz-2y)\,dx = x^2yz -2xy + g(y,z).
Comparando \partial\varphi/\partial y com F_2 mostra \partial g/\partial y=0, logo g=g(z).
Depois, de \partial\varphi/\partial z = x^2y + g'(z) igual a F_3=x^2y+2z, vem g'(z)=2z, isto é g(z)=z^2+C.
Podemos tomar C=0, então
\varphi(x,y,z)=x^2yz -2xy + z^2.

Passo 4

Como \mathbf{F} é conservativo, a integral de linha depende só dos pontos inicial e final:
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \varphi(2,0,1) - \varphi(-1,0,2).
Calculando:
\varphi(2,0,1) = 2^2\cdot0\cdot1 -2\cdot2\cdot0 +1^2 = 1,
\varphi(-1,0,2) = (-1)^2\cdot0\cdot2 -2\cdot(-1)\cdot0 +2^2 = 4.
Logo
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 1 - 4 = -3.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo, pois \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3 simplesmente conexo.
(b) \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -3.

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