Questão 5. Resolva cada um dos itens abaixo.
Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x-1}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x-1}{x+1}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função está dada por \dfrac{x-1}{x+1}.
  • O que é pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.
  • Domínio natural da função: todos os x tais que x\neq -1 (pois \,x+1\neq0).

Passo 2

Vamos usar uma regra padrão para derivar quocientes: a regra do quociente. Primeiro, o que é a regra do quociente e por que ela vale?
Seja uma função g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, onde u e v são diferenciáveis e v(x)\neq0. A regra do quociente diz que
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Significado das letras:
  • u(x) é o numerador da função original.
  • v(x) é o denominador.
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v, respectivamente.
Uma maneira fácil de lembrar/derivar essa fórmula é escrever g(x)=u(x)\cdot [v(x)]^{-1} e aplicar a regra do produto combinada com a regra da cadeia:
g'(x)=u'(x)\,v(x)^{-1}+u(x)\cdot\big(-1\big)\,v(x)^{-2}\,v'(x)
o que reorganizado dá exatamente
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Identificamos u e v para a nossa função:
u(x)=x-1,\qquad v(x)=x+1.
Agora calculamos as derivadas de u e de v:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.
(São derivadas simples: a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante é 0.)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
o numerador é
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)=1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1.
Calculando passo a passo:
1\cdot(x+1)=x+1, \qquad (x-1)\cdot1=x-1,
então
x+1-(x-1)=x+1-x+1=2.

Passo 5

O denominador da regra do quociente é [v(x)]^{2}. Aqui:
[v(x)]^{2}=(x+1)^{2}.

Passo 6

Juntando numerador e denominador obtém-se a expressão da derivada (verificação alternativa por simplificação algébrica logo abaixo):
f'(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}.
Como verificação rápida: outra forma é reescrever f como
f(x)=\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}=1-2(x+1)^{-1}.
Derivando essa forma:
\frac{d}{dx}\big(1\big)=0,\qquad \frac{d}{dx}\big(-2(x+1)^{-1}\big)=-2\cdot(-1)(x+1)^{-2}\cdot1=\frac{2}{(x+1)^{2}},
obtendo o mesmo resultado. Lembre-se: tudo válido para x\neq -1.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}

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