Questão 5. Resolva cada um dos itens abaixo.
Calcule a derivada da função
.
Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes fornecidas:
- A função está dada por
. - O que é pedido: encontrar
, a derivada de em termos de . - Domínio natural da função: todos os
tais que (pois ).
Passo 2
Vamos usar uma regra padrão para derivar quocientes: a regra do quociente. Primeiro, o que é a regra do quociente e por que ela vale?
Seja uma função
, onde
e
são diferenciáveis e
. A regra do quociente diz que
Significado das letras:
-
é o numerador da função original. -
é o denominador. -
e são as derivadas de e , respectivamente.
Uma maneira fácil de lembrar/derivar essa fórmula é escrever
e aplicar a regra do produto combinada com a regra da cadeia:
o que reorganizado dá exatamente
Passo 3
Identificamos
e
para a nossa função:
Agora calculamos as derivadas de
e de
:
(São derivadas simples: a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
.)
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
o numerador é
o numerador é
Calculando passo a passo:
então
Passo 5
O denominador da regra do quociente é
. Aqui:
Passo 6
Juntando numerador e denominador obtém-se a expressão da derivada (verificação alternativa por simplificação algébrica logo abaixo):
Como verificação rápida: outra forma é reescrever
como
Derivando essa forma:
obtendo o mesmo resultado. Lembre-se: tudo válido para
.