Questão 4. Em cada item, resolva o que se pede
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+1, para \boldsymbol{p}=\mathbf{1}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=5x^{3}-2x^{2}+1 no ponto \boldsymbol{p}=\mathbf{1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=5x^{3}-2x^{2}+1.
  • O ponto onde se quer a tangente é p=1.
  • O que se busca é a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=1.

Passo 2

O que é a reta tangente, de forma prática?
A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto é a recta que “toca” o gráfico nesse ponto e tem a inclinação igual à taxa de variação instantânea da função ali. Essa taxa de variação instantânea é o valor da derivada da função no ponto.
A fórmula padrão da reta tangente no ponto x=a (forma ponto-declive) é:
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).
Aqui:
  • a é a abscissa do ponto de tangência (no nosso caso a=1).
  • f(a) é a ordenada do ponto no gráfico.
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a — isso dá o declive (a inclinação) da reta tangente.

Passo 3

Como obter f'(x)? Para polinômios usa-se a regra do poder (power rule):
Se g(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Para uma constante multiplicativa vale \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot x^{n}\big)=c\cdot n x^{n-1}. E a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Aplicando termo a termo em f(x)=5x^{3}-2x^{2}+1:
  • Derivada de 5x^{3} é 5\cdot 3 x^{2}=15x^{2}.
  • Derivada de -2x^{2} é -2\cdot 2 x = -4x.
  • Derivada de 1 (constante) é 0.
Portanto,
f'(x)=15x^{2}-4x.

Passo 4

Calcular a ordenada do ponto de tangência, f(1). Substituindo x=1 em f:
f(1)=5\cdot 1^{3}-2\cdot 1^{2}+1=5-2+1=4.
Logo o ponto no plano é (1,4).

Passo 5

Calcular a inclinação da reta tangente, f'(1). Substituindo x=1 em f'(x):
f'(1)=15\cdot 1^{2}-4\cdot 1=15-4=11.
Então o declive (inclinação) da tangente em x=1 é 11.

Passo 6

Agora usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-declive com a=1, f(1)=4 e f'(1)=11:
y - 4 = 11\,(x - 1).
Essa é a equação da reta tangente em forma ponto-declive. (Na resposta final será apresentada a forma simplificada.)

Resposta

y = 11x - 7

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