Questão 4. Em cada item, resolva o que se pede
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
, para
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se quer a tangente é
. - O que se busca é a equação da reta tangente ao gráfico de
em .
Passo 2
O que é a reta tangente, de forma prática?
A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto é a recta que “toca” o gráfico nesse ponto e tem a inclinação igual à taxa de variação instantânea da função ali. Essa taxa de variação instantânea é o valor da derivada da função no ponto.
A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto é a recta que “toca” o gráfico nesse ponto e tem a inclinação igual à taxa de variação instantânea da função ali. Essa taxa de variação instantânea é o valor da derivada da função no ponto.
A fórmula padrão da reta tangente no ponto
(forma ponto-declive) é:
Aqui:
-
é a abscissa do ponto de tangência (no nosso caso ). -
é a ordenada do ponto no gráfico. -
é a derivada de avaliada em — isso dá o declive (a inclinação) da reta tangente.
Passo 3
Como obter
? Para polinômios usa-se a regra do poder (power rule):
Se então
. Para uma constante multiplicativa vale
. E a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Se
Aplicando termo a termo em
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Portanto,
Passo 4
Calcular a ordenada do ponto de tangência,
. Substituindo
em
:
Logo o ponto no plano é
.
Passo 5
Calcular a inclinação da reta tangente,
. Substituindo
em
:
Então o declive (inclinação) da tangente em
é
.
Passo 6
Agora usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-declive com
,
e
:
Essa é a equação da reta tangente em forma ponto-declive. (Na resposta final será apresentada a forma simplificada.)