Questão 5. Resolva cada um dos itens abaixo.
Seja \boldsymbol{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} derivável e seja \boldsymbol{g} dada por \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=2 \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{e}^{\mathbf{3 x}}\right). Supondo \boldsymbol{f}^{\prime}(\mathbf{1})=2, calcule \boldsymbol{g}^{\prime}(\mathbf{0}).

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Foi dada uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável.
  • A função g é definida por \displaystyle g(x)=2\,f\bigl(e^{3x}\bigr).
  • Sabe-se que \displaystyle f'(1)=2.
  • O objetivo é calcular \displaystyle g'(0).
Informações relevantes resumidas:
  • Constante multiplicativa: o 2 multiplicando f.
  • Composição de funções: x \mapsto e^{3x} é entrada para f.
  • Derivada conhecida de f no ponto 1: \displaystyle f'(1)=2.

Passo 2

Regra da derivada para constante e composição (lembrete didático):
  • Se h(x)=c\cdot u(x) com constante c, então \displaystyle h'(x)=c\cdot u'(x). Ou seja, uma constante sai da derivada.
  • Se uma função é composta, isto é, u(x)=F(V(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
u'(x)=F'\bigl(V(x)\bigr)\cdot V'(x).
Aqui F' é a derivada de F em relação à sua variável (avalida em V(x)) e V'(x) é a derivada do interior.
Vou aplicar essas duas ideias: primeiro a constante 2 sai da derivada; depois aplicar a regra da cadeia em f\bigl(e^{3x}\bigr).

Passo 3

Identificação das funções internas e externas para aplicar a cadeia:
  • Função externa: F(u)=f(u). Sua derivada é F'(u)=f'(u).
  • Função interna composta: V(x)=e^{3x}.
    Assim g(x)=2\cdot F\bigl(V(x)\bigr).
Pela regra da constante e da cadeia:
g'(x)=2\cdot \bigl(F\bigl(V(x)\bigr)\bigr)'=2\cdot F'\bigl(V(x)\bigr)\cdot V'(x).
Substituindo F' por f' e V(x)=e^{3x}:
g'(x)=2\cdot f'\bigl(e^{3x}\bigr)\cdot V'(x).

Passo 4

Calcular V'(x) com V(x)=e^{3x}:
  • A função exponencial tem derivada \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x) (regra da cadeia novamente).
  • Aqui u(x)=3x então u'(x)=3.
    Logo
V'(x)=\frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.

Passo 5

Combinar os resultados para obter g'(x):
Substituindo V'(x)=3e^{3x} em g'(x) do Passo 3:
g'(x)=2\cdot f'\bigl(e^{3x}\bigr)\cdot 3e^{3x}=6\,e^{3x}\,f'\bigl(e^{3x}\bigr).
Esta é a expressão geral para g'(x).

Passo 6

Avaliar em x=0 usando a informação \displaystyle f'(1)=2:
  • Primeiro compute e^{3\cdot 0}=e^{0}=1.
  • Então, pela fórmula do Passo 5,
g'(0)=6\,e^{0}\,f'\bigl(e^{0}\bigr)=6\cdot 1\cdot f'(1)=6\cdot f'(1).
Como \displaystyle f'(1)=2, temos
g'(0)=6\cdot 2=12.

Resposta

\;g'(0)=12

Exercícios relacionados