Questão 5. Resolva cada um dos itens abaixo.
Seja
derivável e seja
dada por
. Supondo
, calcule
.
Seja
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Foi dada uma função
diferenciável. - A função
é definida por . - Sabe-se que
. - O objetivo é calcular
.
Informações relevantes resumidas:
- Constante multiplicativa: o
multiplicando . - Composição de funções:
é entrada para . - Derivada conhecida de
no ponto : .
Passo 2
Regra da derivada para constante e composição (lembrete didático):
- Se
com constante , então . Ou seja, uma constante sai da derivada. - Se uma função é composta, isto é,
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Aqui
é a derivada de
em relação à sua variável (avalida em
) e
é a derivada do interior.
Vou aplicar essas duas ideias: primeiro a constante
sai da derivada; depois aplicar a regra da cadeia em
.
Passo 3
Identificação das funções internas e externas para aplicar a cadeia:
- Função externa:
. Sua derivada é . - Função interna composta:
.
Assim.
Pela regra da constante e da cadeia:
Substituindo
por
e
:
Passo 4
Calcular
com
:
- A função exponencial tem derivada
(regra da cadeia novamente). - Aqui
então .
Logo
Passo 5
Combinar os resultados para obter
:
Substituindo em
do Passo 3:
Substituindo
Esta é a expressão geral para
.
Passo 6
Avaliar em
usando a informação
:
- Primeiro compute
. - Então, pela fórmula do Passo 5,
Como
, temos