Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
d yd t=y-ty+t

Passo 1

Vamos reescrever a EDO dydt=y-ty+t e notar que ela é homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a substituição y=v,t, transformando em uma equação separável em v e t.

Passo 2

Com y=v,t, a derivada fica dydt=v+tdvdt. Substituindo na EDO original, obtemos
A equação se torna:
v + tdvdt = v t - tv t + t = v-1v+1
Isolando dv/dt:
tdvdt = v-1v+1 - v = -v^2+1v+1

Passo 3

Agora separamos as variáveis v e t:
v+1v^2+1,dv = -dtt
Integramos os dois lados:
No lado esquerdo, fazemos
integralv+1v^2+1,dv = integralvv^2+1,dv + integral1v^2+1,dv = tfrac12ln(v^2+1) + arctan(v)
O lado direito é
-ln|t| + C
Logo:
tfrac12ln(v^2+1) + arctan(v) = -ln|t| + C
Por fim, voltamos a y usando v=y/t.

Resposta

[]
\tfrac12\ln\Bigl(\bigl(\tfrac{y}{t}\bigr)^2 + 1\Bigr) + \arctan\Bigl(\tfrac{y}{t}\Bigr) + \ln|t| = C.
[]

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