Questão 4. Resolva as EDO exatas:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO exata (2 x y+e^y),dx+(x^2+x e^y),dy=0. O conteúdo é equações diferenciais exatas, e para isso precisamos verificar se a equação satisfaz partial M/partial y=partial N/partial x, encontrar a função potencial Psi(x,y) e só então escrever a solução implícita Psi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2 x y+e^y e N(x,y)=x^2+x e^y. Calculamos:
partial Mpartial y=2 x+e^yepartial Npartial x=2 x+e^y
Como coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x para obter Psi(x,y). Temos:
Psi(x,y)=integral(2 x y+e^y),dx =integral2 x y,dx+integral e^y,dx =x^2y+x e^y+h(y)

Passo 4

Derivamos essa expressão de Psi(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y) para achar h(y). Calculamos:
partial Psipartial y=x^2+x e^y+h'(y)
Igualando a N(x,y)=x^2+x e^y, obtemos h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Portanto, a solução geral da EDO é dada implicitamente pela igualdade entre Psi(x,y) e uma constante de integração.

Resposta

x^{2}y + x e^{y} = C

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