Questão 4. Resolva as EDO exatas:
(x+y) d x+(x-y) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado é resolver a EDO (x+y),dx + (x-y),dy = 0 com condição inicial y(0)=2. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e vamos precisar reconhecer a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, verificar exatidão, achar a função potencial phi(x,y) e usar a condição inicial.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x+y e N(x,y)=x-y. Calculamos as derivadas parciais: partial M/partial y = 1 e partial N/partial x = 1. Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função phi(x,y) tal que partial phi/partial x = M e partial phi/partial y = N. Integrando em relação a x:
phi(x,y) = integral (x+y),dx = x^22 + xy + h(y)
Derivando em relação a y: partial phi/partial y = x + h'(y), que deve ser igual a x-y. Logo h'(y) = -y e integrando h(y) = -y^2/2. Assim,
phi(x,y) = x^22 + xy - y^22

Passo 4

A solução geral é dada por phi(x,y)=C, ou seja,
x^22 + xy - y^22 = C
Usando a condição inicial y(0)=2, temos phi(0,2)=0 + 0cdot2 - (2^2)/2 = -2. Logo C = -2.

Passo 5

A equação implícita final é
x^22 + xy - y^22 = -2
Multiplicando tudo por 2:
x^2 + 2xy - y^2 = -4
Para obter y explicitamente, tratamos como uma equação quadrática em y, cujo discriminante e sinal são escolhidos para satisfazer y(0)=2. Isso leva a:
y = x + raiz2x^2 + 4

Resposta

y = x + raiz2x^2 + 4

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