Questão 4. Resolva as EDO exatas:
Passo 1
O enunciado é resolver a EDO
com condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e vamos precisar reconhecer a forma
, verificar exatidão, achar a função potencial
e usar a condição inicial.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
e
. Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
e
. Integrando em relação a
:
Derivando em relação a
:
, que deve ser igual a
. Logo
e integrando
. Assim,
Passo 4
A solução geral é dada por
, ou seja,
Usando a condição inicial
, temos
. Logo
.
Passo 5
A equação implícita final é
Multiplicando tudo por 2:
Para obter
explicitamente, tratamos como uma equação quadrática em
, cujo discriminante e sinal são escolhidos para satisfazer
. Isso leva a: