Questão 4. Resolva as EDO exatas:
Passo 1
A questão pede para resolver a equação diferencial exata
. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e vamos precisar: 1) identificar as funções
e
, 2) checar a condição de exatidão (
), 3) encontrar a função potencial
tal que
, e 4) montar a solução implícita
.
Passo 2
Definimos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 4
Agora calculamos
e igualamos a
:
Devemos ter
Logo
Passo 5
Substituindo
em
e recolhendo a constante em um único
, obtemos a solução geral implícita:
Resposta
x^2y + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{y^2}{2} = C