Questão 4. Resolva as EDO exatas:

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial exata (2xy + x),dx + (x^2 + y),dy = 0. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e vamos precisar: 1) identificar as funções M(x,y) e N(x,y), 2) checar a condição de exatidão ( partial M/partial y = partial N/partial x), 3) encontrar a função potencial psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy, e 4) montar a solução implícita psi(x,y)=C.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=2xy+x,
N(x,y)=x^2+y
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2x,
partial Npartial x=2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial psi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
psi(x,y)=integral(2xy + x),dx = x^2y + x^22 + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora calculamos partialpsi/partial y e igualamos a N(x,y):
partialpsipartial y=x^2 + h'(y)
Devemos ter
x^2 + h'(y)=x^2 + y
Logo
h'(y)=y implies h(y)=y^22 + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em psi e recolhendo a constante em um único C, obtemos a solução geral implícita:
psi(x,y)=x^2y+x^22+y^22=C

Resposta

x^2y + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{y^2}{2} = C

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