Questão 4. Resolva as EDO exatas:
y e^x y d x+x e^x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO exata
y,e^xy,dx + x,e^xy,dy = 0
Então o conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos testar exatidão e achar uma função potencial psi(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y)=y,e^xy, N(x,y)=x,e^xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=e^xy+xy,e^xy=e^xy(1+xy),
$$\frac{\partial N}{\partial x}=e{xy}+xy,e{xy}=e^{xy}(1+xy).
$$
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)=y,e^{xy}.
partial psipartial x=M(x,y)=y,e^xy çã
\psi(x,y)=\int y,e{xy},dx=e{xy}+h(y).
$$

Passo 4

Para achar h(y), usamos
$$\frac{\partial \psi}{\partial y}=x,e^{xy}+h’(y)
partial psipartial y=x,e^xy+h'(y) h’(y)=0\implies h(y)=constante.
$$

Passo 5

A solução geral implícita vem de
psi(x,y)=e^xy=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

e^xy=C

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