Encontre o domínio e imagem das funções. Escreva sua resposta usando notação de intervalos.
f(x)=2 /(3 x-1)

Passo 1

Estamos lidando com a função racional f(x)=23x-1. O conteúdo aqui é análise de domínio e imagem de uma função racional, e vamos precisar usar a condição de existência (denominador não pode ser zero) e, depois, ver quais valores de y=f(x) são atingidos.

Passo 2

Para encontrar o domínio, impomos a condição de existência: o denominador não pode ser zero. Assim,
3x - 1 neq 0
Resolvendo,
x neq 13
Logo, usando notação de intervalos,
Domínio = (-infty,,tfrac13) cup (tfrac13,,infty)í.

Passo 3

Para achar a imagem, escrevemos y=23x-1 e percebemos que nunca podemos ter y=0, pois o numerador é constante 2. Outra forma é inverter a relação:
y=23x-1 implies 3x-1=2y implies x=13+23y,
o que está bem definido para todo yneq 0. Portanto, todos os valores reais exceto zero são atingidos.
Assim, em notação de intervalos, a imagem fica:
Ima>=m = (-infty,,0) cup (0,,infty).

Resposta

Domínio: (-infty,,1/3) cup (1/3,,infty)
Imagem: (-infty,,0) cup (0,,infty)

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