Encontre a função inversa de f(x)=x+12 x+1.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a função inversa de f(x)= x+12x+1. O conteúdo aqui é função inversa de uma função racional, e vamos precisar resolver a equação y= x+12x+1 para x.

Passo 2

Definimos y=f(x), isto é:
y=x+12x+1
Agora a gente vai isolar x em função de y.

Passo 3

Multiplicamos os dois lados pelo denominador (2x+1) para eliminar a fração:
y,(2x+1)=x+1

Passo 4

Expandimos o produto no lado esquerdo e depois agrupamos os termos que têm x:
2xy+y=x+1
2xy - x = 1 - y
Aqui a gente colocou todos os termos com x no lado esquerdo e os demais no lado direito.

Passo 5

Fatoramos x no lado esquerdo para isolar:
x,(2y-1)=1-y
Em seguida dividimos ambos os lados por (2y-1), assumindo que 2y-1neq0:

Passo 6

Isolamos x:
x=1-y2y-1
Para terminar, trocamos o nome da variável y por x, já que estamos expressando a função inversa.

Passo 7

Renomeando y→x, concluímos que a inversa é:
f^-1(x)=1-x2x-1
Lembrando que o domínio de f^-1 exclui o ponto onde 2x-1=0, ou seja, x=1/2.

Resposta

f^{-1}(x)=\frac{1-x}{2x-1}

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