Encontre a função inversa de
.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar a função inversa de f(x)=
. O conteúdo aqui é função inversa de uma função racional, e vamos precisar resolver a equação y=
para x.
Passo 2
Definimos
, isto é:
Agora a gente vai isolar x em função de y.
Passo 3
Multiplicamos os dois lados pelo denominador
para eliminar a fração:
Passo 4
Expandimos o produto no lado esquerdo e depois agrupamos os termos que têm x:
Aqui a gente colocou todos os termos com x no lado esquerdo e os demais no lado direito.
Passo 5
Fatoramos x no lado esquerdo para isolar:
Em seguida dividimos ambos os lados por
, assumindo que
:
Passo 6
Isolamos x:
Para terminar, trocamos o nome da variável y por x, já que estamos expressando a função inversa.
Passo 7
Renomeando y→x, concluímos que a inversa é:
Lembrando que o domínio de
exclui o ponto onde
, ou seja,
.
Resposta
f^{-1}(x)=\frac{1-x}{2x-1}