Questão 3. Resolva as EDO y^prime=yx-1(Resp y=x ln |C / x|)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y' = yx - 1. Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que nos permite transformar a equação em uma forma facilmente integrável.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão y' + p(x)y = q(x). No nosso caso:
y' - 1xy = -1
Assim, identificamos p(x) = -1x e q(x) = -1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^-integral 1x,dx = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x e observamos que o lado esquerdo se torna a derivada do produto mu(x)y:
1xy' - 1x^2y = -1x
O que equivale a
ddxl(tfracyxr) = -1x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(tfracyxr),dx = integral -1x,dx
Isso dá
yx = -ln|x| + C1
Multiplicando por x, obtemos
y = -xln|x| + C1x
Reescrevendo a constante geral como C, chegamos à forma
y = xlnl|Cxr|

Resposta

y = x lnl|tfracCxr|

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