Considere a função
. Se
é de classe
em um aberto de
, calcule
.
Passo 1
Temos a função
, onde
é de classe
. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções de várias variáveis e o cálculo de derivadas segunda usando a hessiana de
. Vamos precisar das derivadas parciais de
até segunda ordem.
Passo 2
Definimos as funções auxiliares
e
. Aplicando a regra da cadeia, a primeira derivada de
é o produto escalar do gradiente de
por
:
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Observe que
e
são constantes, mas
e
dependem de
. Usando novamente a regra da cadeia:
onde todas as segundas derivadas são avaliadas em
.
Passo 4
Substituindo essas derivadas em
e usando a igualdade
, obtemos: