Considere a função g(t)=f(a+h t+b+k t) com a, b, h, k in R. Se f é de classe C^2 em um aberto de R^2, calcule d^2 gd t^2(t).

Passo 1

Temos a função g(t)=f(a+ht,,b+kt), onde f:R^2toR é de classe C^2. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções de várias variáveis e o cálculo de derivadas segunda usando a hessiana de f. Vamos precisar das derivadas parciais de f até segunda ordem.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares x(t)=a+ht e y(t)=b+kt. Aplicando a regra da cadeia, a primeira derivada de g é o produto escalar do gradiente de f por (x'(t),y'(t))=(h,k):
g'(t)=fxl(x(t),y(t)r),h;+ fyl(x(t),y(t)r),k

Passo 3

Agora derivamos g'(t) para obter g''(t). Observe que h e k são constantes, mas fx e fy dependem de t. Usando novamente a regra da cadeia:
ddtl[fx(x(t),y(t))r] =fxx(x,y),h+fxy(x,y),k,
ddtl[fy(x(t),y(t))r] =fyx(x,y),h+fyy(x,y),k,
onde todas as segundas derivadas são avaliadas em (x(t),y(t)).

Passo 4

Substituindo essas derivadas em g''(t)=h,d[fx]/dt + k,d[fy]/dt e usando a igualdade fxy=fyx, obtemos:
g''(t)=fxx(x(t),y(t)),h^2 +2fxy(x(t),y(t)),h,k +fyy(x(t),y(t)),k^2

Resposta

g''(t)=fxx(a+ht,b+kt),h^2+2fxy(a+ht,b+kt),h,k+fyy(a+ht,b+kt),k^2.

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