Questão 3. Resolva a EDO de segunda ordem homogênea a seguir usando a Transformada de Laplace
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem e as condições iniciais:
com
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a EDO e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.
Passo 2
Vou recordar as propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar — explicadas de forma simples e prática.
Definição (essencial): a Transformada de Laplace de uma função
é a função
Propriedades úteis que usaremos:
- Linearidade:
- Transformada de derivadas (fundamental para EDOs com condições iniciais):
Aqui
e
são as condições iniciais — por isso a Laplace é ótima para resolver EDOs com condições iniciais direto no domínio
.
3) Transformadas de funções exponenciais multiplicadas por potências de :
3) Transformadas de funções exponenciais multiplicadas por potências de
Em particular,
Também usamos o teorema do deslocamento: se
então
.
Passo 3
Agora aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Chamo
. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
e
, temos:
Substituindo:
Como
e
, isso fica
Passo 4
Agrupo os termos em
e isolo
:
Logo
Observação algébrica: o denominador é um quadrado perfeito:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos encontrar a função
que tem essa transformada
. Usamos a propriedade conhecida:
Comparando com
, vemos que aqui
. Assim a transformada inversa é
Se quiseres ver de outro jeito: aplicar a propriedade de deslocamento — a transformada de
é
; deslocando por
(trocar
por
) dá
, que corresponde a
.
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida das condições iniciais para ganhar confiança: calculemos
e
.
As condições iniciais são satisfeitas, então a solução está correta.