Questão 3. Resolva a EDO de segunda ordem homogênea a seguir usando a Transformada de Laplace
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0
\operatorname{com} y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem e as condições iniciais:
y^{\prime\prime} + 6y^{\prime} + 9y = 0
com
y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Vou recordar as propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar — explicadas de forma simples e prática.
Definição (essencial): a Transformada de Laplace de uma função y(t) é a função
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Propriedades úteis que usaremos:
  1. Linearidade:
\mathcal{L}\{a\,f(t)+b\,g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
  1. Transformada de derivadas (fundamental para EDOs com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0),y'(0) são as condições iniciais — por isso a Laplace é ótima para resolver EDOs com condições iniciais direto no domínio s.
3) Transformadas de funções exponenciais multiplicadas por potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\quad(n\in\mathbb{N}).
Em particular,
\mathcal{L}\{t e^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Também usamos o teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).

Passo 3

Agora aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Chamo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, temos:
\mathcal{L}\{y''\} + 6\mathcal{L}\{y'\} + 9\mathcal{L}\{y\} = 0.
Substituindo:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + 6\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + 9Y(s)=0.
Como y(0)=0 e y'(0)=1, isso fica
\bigl(s^{2}Y(s)-1\bigr) + 6\bigl(sY(s)\bigr) + 9Y(s)=0.

Passo 4

Agrupo os termos em Y(s) e isolo Y(s):
\bigl(s^{2}+6s+9\bigr)Y(s)-1=0.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+6s+9}.
Observação algébrica: o denominador é um quadrado perfeito:
s^{2}+6s+9=(s+3)^{2}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{(s+3)^{2}}.

Passo 5

Agora precisamos encontrar a função y(t) que tem essa transformada Y(s). Usamos a propriedade conhecida:
\mathcal{L}\{t e^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Comparando com Y(s)=\dfrac{1}{(s+3)^{2}}, vemos que aqui a=-3. Assim a transformada inversa é
y(t)=t e^{-3t}.
Se quiseres ver de outro jeito: aplicar a propriedade de deslocamento — a transformada de \,t\mapsto t é \dfrac{1}{s^{2}}; deslocando por a=-3 (trocar s por s+3) dá \dfrac{1}{(s+3)^{2}}, que corresponde a t e^{-3t}.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida das condições iniciais para ganhar confiança: calculemos y(0) e y'(0).
y(0)=0\cdot e^{0}=0,
y'(t)=e^{-3t}-3t e^{-3t} \quad\Rightarrow\quad y'(0)=1-0=1.
As condições iniciais são satisfeitas, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=t e^{-3t}

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