Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=x^2+y^2, determine as curvas de nível de f e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar as curvas de nível da função e fazer um esboço do gráfico dessa função. Isso está relacionado a geometria analítica e funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representar graficamente funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano XY onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função x^2 + y^2 = c , vamos definir :
Essa equação representa círculos com centro na origem e raio . Cada valor de diferente nos dá um círculo de raio diferente. Por exemplo:
  • Se , temos um círculo de raio 1.
  • Se , um círculo de raio 2.
  • E assim por diante.

Passo 4

Agora, para esboçar o gráfico de , pense que para cada ponto , o valor de é a altura acima do plano XY. Como é sempre positivo ou zero, o gráfico será uma paraboloide circular que abre para cima. Cada curva de nível que desenhamos anteriormente representa uma “corte” horizontal desse paraboloide em diferentes alturas.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos centrados na origem com raio . O gráfico de é uma paraboloide circular que se abre para cima, onde cada curva de nível corresponde a um corte horizontal no paraboloide a uma altura .

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